Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
и до настоящего времени оно проделано лишь для небольшого
числа простейших структур.
Дебай же, для того чтобы решить задачу в общем виде, пошел на
упрощение: заменил кристаллическую решетку непрерывной
средой (континиумом) и пренебрег различием в частоте продольных
и поперечных колебаний; при этом сумма (2.161) превратилась в
интеграл:
vManc
ш= 5 ^r~?(v)dv, (2.162)
VMHH ehl - 1
где g (v) dv - число колебаний в интервале частот dv.
т
Для непрерывной среды можно показать, что g (v) = = Av2dv,
где А - некоторая постоянная*).
Дополнительные трудности возникают при вычислении
верхнего предела интегрирования. Нижний предел в данном случае
не играет роли; так как g (v) 0 при v->- О,
то vMHH можно приравнять нулю. Сложнее обстоит дело с
определением vMaKC и А. Эти трудности можно преодолеть,
опираясь на следующие положения: а) при высоких температурах
теплоемкость кристалла должна подчиняться закону Дюлонга и
Пти: С = 3R = 3Nk, а следовательно, при Т > 0
VManc
S 1T^-g(v)dv = 3NkT; (2.163)
о e.ftT_1
б) общее число степеней свободы грамм-атома должно быть 3 N:
VManc
^ g(v)d\ = 3N. (2.164)
о
Для дебаевской модели так же, как это было сделано выше для
модели Эйнштейна, можно ввести температуру Дебая, определив ее
равенством /rvMaKC - Ш (т. е. как температуру, при которой будут
возбуждаться самые высокие частоты) или vMaKC = kQ/n.
Интеграл (2.162) можно превратить в безразмерный, поделив и
умножив его на 03 и вынеся все постоянные величины за знак
интегрирования. После этого выражение (2.162) с учетом (2.163) и
(2.164) принимает вид
g = 3 NkTD(t), (2.165)
*) В одномерной цепочке каждой длине волны соответствуют три
колебания с различным направлением поляризации; в трехмерном случае
можно вычислить g (v)dv, рассмотрев число фазовых ячеек dN в слое Дрф =
hdq фазового пространства для фононов:
4ярф dP(f) 4JIV2 dv
dN= = 4nq2 dq = =-
h3 w%
4JC
(так как q = \/п>ф); таким образом, g (v) = -j- v2dv для каж-
Шф
дой ветри колебаний, р А = 12я/шф.
W
где D (t)- так называемая функция Дебая.
DV)=w\ и t = T- (2Л66>
о
Выражение (2.166) для любой температуры может быть
вычислено приближенно: для t < 1 (высокие температуры) D(t)= 1 и
Ш = 3RT; при t > 1 (низкие температуры) верхний предел в (2.166)
можно заменить на оо, при этом:
?^==тзг- (2Л67)
3 n*NkT*
503
(2.168)
д% _ . ( Т \з
дТ
ау (2.169,
в согласии с экспериментальными данными. Результат,
полученный Дебаем, имеет простую качественную интерпретацию.
На рис. 1.12 представлены энергетический спектр кристалла по
Эйнштейну (слева) и по Дебаю (справа). Как уже упоминалось, в
модели Эйнштейна при Т < 0 вероятность возбуждения осциллятора
убывает экспоненциально. Напротив, в модели Дебая, как бы ни
была низка температура, всегда найдутся колебания, для которых
hv С kT и, следовательно, энергия которых е =¦ кТ; число таких
колебаний
hT
N'&\ 4jiva dv = ^ (kT)3, (2.170)
о
полная энергия кристалла
и С~Т3. (2.171)
Более детальная экспериментальная проверка теории Дебая
показала, что для простейших кристаллов с одним атомом в
элементарной ячейке она дает удовлетворительное согласие с
опытом не только при Т -*¦ 0, но и в широком интервале
температур, из чего можно сделать вывод, что модель Дебая
удовлетворительно описывает акустические колебания.
ДО
Для кристаллов, содержащих несколько atoMoe в элементарной
ячейке, теория Дебая дает значительно худшее совпадение с
опытом. Это и понятно; как видно из рис. 2.12, частота оптических
колебаний почти постоянна и, следовательно, их лучше описывать
моделью Эйнштейна, чем Дебая. Следовательно, для сложных
кристаллов энергию надо представить в виде суммы энергии
нулевых колебаний, энергии трех ветвей акустических колебаний,
рассчитанной как для непрерывного континиума по Дебаю, и энер-
гии 3 (т - 1) ветвей оптических колебаний (где т - число атомов
в элементарной ячейке, рассчитанной по Эйнштейну):
g = g0 + A'kT
i-3(m-1)
зо(т)+ 2
1L
i=l Q T
-1
. (2.172)
Формула (2.172), в которой по существу имеется 3N
произвольных постоянных (так как ни одна из входящих сюда
температур Дебая точно не известна), хорошо согласуется с опытом.
Иногда выходят из положения другим путем - определяют
энергию кристалла одной лишь формулой Дебая, но при этом
температуру Дебая делают переменной величиной и подбирают 0
при каждой температуре таким образом, чтобы теплоемкость,
рассчитанная согласно (2.165), соответствовала опытным данным.
3
ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕОРИИ КРИСТАЛЛОВ
При изложении материала первой главы мы, стремясь к
максимальной простоте, избегали применения аппарата квантовой
механики, и в результате вынуждены были упустить целый ряд
важных вопросов электронной теории, а другие описать
чрезвычайно примитивно.
В настоящей главе мы попытаемся частично восполнить этот
пробел.
3.1. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Как уже было сказано выше, в квантовой механике решение
