Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
электрона. Очевидно, что при этих условиях будет мало отличаться
от волновой функции свободного электрона, a от энергии
свободного электрона. Исключением будут те случаи, когда
знаменатель в выражениях (3.22) и (3.23) обращается в нуль (или
близок к нулю):
При этом мы имеем два вырожденных состояния с одинаковой
энергией. В этом случае формулы (3.22) и (3.23) неприменимы и мы
должны воспользоваться выражением (2.68). Тогда для определения
поправки к энергии нулевого порядка мы должны сначала решить
вековое уравнение
и только после этого учитывать возмущения более высоких
порядков; из (3.25) получим
Два корня уравнения (3.26) возникают из двух невозмущенных
вырожденных уровней энергии; влияние возмущения в данном
случае проявляется в снятии вырождения - расщеплении уровней.
Величина расщепления, как видно из (3.26), составляет
приблизительно 2[/". На рис. 3.2 для одномерного случая
представлен энергетический спектр свободного электрона и
электрона в твердом теле согласно (3.15). Разрывы в
энергетическом спектре появляются всякий раз, когда к - к' = п/а
и | k | = | k' |, т. е. при k = п/2а. Расщепления уровней,
удовлетворяю
щую (к'+ g)".
(3.24)
(3.26)
201
щих условиям (3.24), на два и образование запрещенных зон
качественно интерпретируется следующим образом. Суть дела
состоит в том, что состояния А и Л' на рис. 3.2 удовлетворяют
условию Брегга (для линейного случая X = 2а), поэтому они в
результате отражения от решетки смешиваются, образуя две
стоячие волны.
На рис. 3.3 представлено расположение этих волн и электронной
плотности относительно узлов решетки; ясно, что
Рис. 3.2. Зависимость энергии от волнового вектора:
- - - свободного электрона и ¦ электрона в кристалле.
волна Р дает энергетически более выгодное состояние, чем волна Q
(так как в первом случае максимум электронной плотности
соответствует минимуму электростатического потенциала). Таким
образом, из двух вырожденных состояний А и А' (рис. 3.2)
образуются два невырожденных Р и Q. Точка Р' (также на рис. 3.2)
описывает то же состояние, что и точка Р, так как в этой точке та
же групповая скорость электрона v = dv/dk = -1 Иг дШ!дк = 0 и
она описывает такую же стоячую волну с той же энергией и тем же
волновым вектором (в случае стоячей волны знак волнового
вектора не играет роли). То же самое относится и к точкам Q и Q'.
202
Предложенное выше качественное объяснение относится и к
плоской и объемной решетке с той лишь разницей, что в последнем
случае векторы к и к' не обязательно совпадают по направлению.
Однако и в этом случае разрыв в энергии
Рис. 3.3. Схема расположения волн электронной плотности,
соответствующих верхнему краю валентной зоны (Р) и
нижнему краю свободной зоны (Q).
электрона наступает тогда, когда выполняются одновременно два
условия:
k-k' = g и |k| = |k'|,
где g - любой вектор обратной решетки.
На рис. 3.4 представлена обратная решетка и показан вектор к,
удовлетворяющий условию (3.24). Из рисунка видно, что если за
начало вектора к' мы возьмем один из узлов обратной решетки О,
то конец его должен лежать на прямой АВ, а в пространстве - на
плоскости, перпен
203
дикулярной одному из векторов (ОС) обратной решетки и делящей
его в точке В пополам. Таким образом, все .пространство обратной
решетки делится этими прямыми (а в объеме - плоскостями) на
области, внутри которых энергия меняется непрерывно, а на
границах терпит разрыв. Эти области носят название зон
Бриллюэна.
На рис. 3.5, а и б представлены первые зоны Бриллюэна для
некоторых плоских и объемных решеток. В теории полу-
проводников часто пользуются схемой приведенных зон
нормаль к
плоскости
отражения
Рис. 3.4. Схема условий интерференции электронных волн.
Бриллюэна; на рис. 3.6 для линейной цепочки построена пунктиром
вторая приведенная зона. Такое преобразование энергетического
спектра электрона можно обосновать следующим образом: как мы
уже упоминали, волновая функция электрона в периодическом поле
представляет собой модулированную плоскую волну
ф = и (г) e2ltikr, (3.27)*)
где и (г) удовлетворяет единственному условию: u(r + g)
= u(r).
Пусть волновая функция (3.27) соответствует состоянию d на
рис. 3.6. Введем обозначение k = k' + ^ (где а -
*) Временной множитель e2lttv* там, где он не нужен, будем опускать.
204
постоянная линейной решетки) и перепишем (3.27) в виде ф = и' (г)
e2ltik'r, (3.28)
к / 2лг-
где и (г) = и (г) е а - также периодическая функция с периодом
решетки, но (к' | <а/2; таким образом, точка d', описывающая
электрон в состоянии (3.27), попала в первую зону Бриллюэна. Так
как на и (г) мы не накладывали ника-
ПерВая зона
ШТ11 Вторая зона
§§3 Третья зона
а)
Рис. 3.5. Три первые зоны Бриллюэна для плоской квадратной решетки (а) и
первые зоны Бриллюэна для кубической объемноцен- трированной (б) и
кубической гранецентрированной решеток (в).
