Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лазарь С.С. -> "Физика полупроводников" -> 72

Физика полупроводников - Лазарь С.С.

Лазарь С.С. Физика полупроводников — Наука, 1985. — 460 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikapoluprovodnikov1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 152 >> Следующая

"3а3,
(3-11)
*) Эта теорема, впервые доказанная Блохом, носит его имя. Период
модуляции амплитуды может быть равен периоду решетки или в целое
число раз меньше него.
**) Или с периодом, меньшим периода решетки в целое число раз.
197


alt a2, a3 -базисные векторы решетки и пи п2, п3 - любые целые
числа.
Энергетический спектр электрона всегда состоит из
чередующихся полос разрешенных и запрещенных значений
энергии; на верхней и нижней границе каждой полосы скорость
электрона обращается ~в-нуль, а в промежутке достигает
максимального, значения. ~ -
Эти две особенности волновых функций вытекают из
периодичности потенциала (иными словами, трансляционной
симметрии кристалла): в идентичных точках прямого и обратного
пространства плотность электронного облака и зависимость
энергии от волнового вектора должны быть " одинаковы. Г- г
V' ^;
Но обычно кристаллическая решетка обладает, кроме
трансляционной, еще целым рядом элементов симметрии группы
вращений. Использование этого обстоятельства позволяет сделать
ряд очень важных предсказаний и значительно уменьшить число
необходимых вычислений. Поэтому во всех описанных ниже
методах применяется теория групп для учета и использования
симметрии кристалла.
3.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ
В этом методе за исходные (т. е. нулевое приближение) берутся
функции свободного электрона, а затем периодический потенциал
учитывается как малое возмущение; поэтому мы вначале
рассмотрим волновые функции и энергию свободных электронов.
Модель свободных электронов Зоммерфельда. Простейшее
приближение состоит в пренебрежении в уравнении (3.5) всеми
членами, за исключением кинетической энергии.
В этом случае оно принимает вид
2^VrF(n ... Гп) = ?ЧЧГ1 ... г") (3.12)
i
и решение его имеет вид
^ = Цфг(п)- (3.13)
Здесь волновые функции отдельных электронов - плоские
198


волны:
ф = v_1/2e2ltikr,
(3.14) *>
где V - объем кристалла.
Энергия электрона
Pi h?k\ Ei 2
т 2т
'(3.15)
и энергия всей системы
(3.16)
Однако волновая функция вида (3.13) не удовлетворяет принципу
Паули (она не обращается в нуль), когда два электрона имеют одну
и ту же координату. Поэтому для правильного описания системы
надо составить линейную комбинацию из таких функций, которые
бы удовлетворяли этому принципу и подчинялись статистике
Ферми.
Нетрудно убедиться, что этим условиям удовлетворяет
волновая функция, изображенная определителем
Во многих случаях, однако, можно удовлетвориться
мультипликативной функцией вида (3.13), помня при этом, что в
ней может быть не более двух электронов с одинаковыми
пространственными волновыми функциями, т. е. с одинаковыми
волновыми векторами (но отличающимися направлением спина).
Модель свободных электронов была предложена Зом-
мерфельдом для описания свободных электронов в металлах и дала
качественно удовлетворительные результаты для описания
теплоемкости и явлений переноса (электропроводности, термо-э. д.
с., гальвано- и термомагнитных явлений) в щелочных металлах. В
ряде случаев эта модель
*) Множитель V 1/2 берется из условия нормировки - вероятность найти
электрон во всем объеме кристалла должна быть равна
Y (1,2,3, ...,Л0 = (ЛПГ1/а
Ф1 (п) Ф1 (Гг) • • • Ф1 м
Фг (П) Фг (г2) • • • фг (Ы
(3.17)
флг (гl) ФN (г2) • • • флг (гN)
единице:
:: ^ | ф \2dV = 1.
199


может дать удовлетворительную картину для описания свободных
электронов в полуметаллах, если заменить в ней массу свободного
электрона эффективной массой. Однако эта теория не может дать
никаких сведений о зонной структуре твердого тела - для этого
необходимо учесть периодический потенциал решетки.
Влияние периодического потенциала. Согласно сказанному
выше периодический потенциал решетки может быть разложен в
ряде Фурье:
U (г) = 2 Vee2^, (3.18)
g
где g -векторы обратной решетки, и коэффициенты Us
определяются по формуле обращения
Ue = -y J U(r)e2^dv. (3.19)
Вычислим теперь матричные элементы U (г) в системе
невозмущенных функций, т. е. плоских волн вида (3.14):
t/kk' = J Ф? (г) U (г) qv (г) dv. (3.20)
Подставив в (3.20) разложение U (г) (3.18), нетрудно убедиться,
что матричные элементы отличны от нуля только в случае
k-k'=g (3.21)
и при этом Ukk' = Ug.
Этих результатов нам достаточно, чтобы построить волновые
функции в первом и энергию во втором приближении согласно
(2.58) и (2.60):
Фй^фй+2 Д2 [k2_S(k + g)2]/2m (3.22)
е
и
= ~2пГ + + 2 П1{№-(Ь+?)Щ2т ' (3-23)
?
член
и0= $ С/(г)|фк \2dV есть средняя потенциальная энергия электрона в
решетке.
200


Приближение свободных электронов по своему смыслу
применимо тогда, когда периодический потенциал мал по
сравнению с кинетической энергией электрона. Это значит, что в
каждом члене суммы (3.23) числитель должен быть намного меньше
знаменателя, т. е. амплитуда периодического потенциала V& должна
быть мала по сравнению со знаменателем - кинетической энергией
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed