Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
ких ограничений, кроме сохраненной в и' (г) периодичности, то оба
описания электрона вполне адекватны. Очевидно, что аналогичную
процедуру можно провести для любого состояния электрона и в
плоском и в объемном случаях.
Как было видно из хода рассуждений, структура зон Бриллюэна
ни в какой мере не связана с выбранным нами приближением, а
целиком определяется геометрией обратной (а следовательно, и
прямой) решетки; что касается ширины разрывов в энергетическом
спектре и ширины и формы разрешенных полос, то они связаны с
выбранным приближением, и поэтому применимость сделанных в
этой области количественных выводов весьма ограниченна; так
205
как в этом методе за нулевое приближение принимается волновая
функция свободного электрона, а периодический потенциал
учитывается затем как малое возмущение, то отсюда следует, что
метод должен давать хорошие результаты в тех случаях, когда
полная энергия электрона велика по сравнению с энергией связи с
решеткой, т. е. он хорошо применим для электронов, энергия
которых намного выше горбов U на рис. 3.1. Поэтому это
приближение дает удовлетворительные результаты для
возбужденных состояний
Рис. 3.6. Схема построения приведенных зон
Бриллюэна.
(электронов в свободной и более высоких зонах) и в первую очередь
для электронных пучков, падающих на кристалл. Для валентных
электронов он может дать лишь качественно правильную картину.
К этому надо добавить, что для вычисления волновых функций и
энергетического спектра здесь необходимо знать Фурье-компоненты
периодического потенциала. Практически это чрезвычайно сложная
задача, так как вблизи ядер возмущающий потенциал очень велик и
очень быстро меняется. Поэтому более удобным для вычислений
является метод сильно связанных электронов, в котором за нулевое
приближение принимается линейная комбинация волновых
функций изолированных атомов (и тем самым автоматически
учитывается вид потенциала вблизи ядра), а затем наличие других
атомов учитывается как малое возмущение. К рассмотрению этого
метода мы и перейдем в следующем параграфе.
206
3.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ
Как мы выше упоминали, в методе сильной связи за нулевое
приближение берется линейная комбинация атомных функций. Для
того чтобы она удовлетворяла теореме Блоха (т. е. ее амплитуда
обладала периодичностью решетки), возьмем ее в виде
г|,(г) = 2е2**1сра(г-1), (3.29)
1
где фа (г-1) - атомная волновая функция электрона для атома,
находящегося в точке I.
Энергия электрона в этом состоянии в первом приближении
3 30)
1 'I'k (Г) 'I'm (Г) dv
где Я -возмущенный гамильтониан (т. е. гамильтониан с учетом
периодического потенциала):
я=[-1Д-у2+{;(г)] ¦ (3-31>
Выражение (3.31) можно также переписать в виде
Я = Я0 + [{Д(г) - Ua (г)] = Н0-\-Н1, (3.32)
где Н0 - гамильтониан изолированного атома и = - (Uk - Uа) -
возмущение, т. е. отличие потенциала в кристалле от атомного
потенциала.
Если предположить, что в кристалле заметно перекрываются
волновые функции электронов, принадлежащих только соседним
атомам, то в (3.30) интегрирование даст члены, отличные от нуля,
только для ближайших соседей; таким образом, мы получим
8k = 8a-Sg(l)e2"", (3.33)
где
Ш (1) = - 5 ф! (г+ 1) {Uk (r)-Ua (г)} фа (г) dr (3.34)
и Ша-энергетический уровень, соответствующий фа (г) в
изолированном атоме. Эго выражение было впервые получено
Блохом. Интеграл (3.34) носит название интеграла
207
перекрытия. Физически он характеризует вероятность перехода
электрона от атома к его соседу. Величина к может меняться в
пределах от 0 до 1/2 /, что соответствует сдвигу по фазе между
волновыми функциями соседних атомов от 0 до л.
Различным сдвигам по фазе соответствует различное значение ф
в промежутке между атомами, а следовательно, и различные
значения интеграла перекрытия, т. е. раз-
[ою]
личные уровни энергии. Таким образом атомные волновые функции
расщепляются в зону *К
Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку и
предположим, что <ра (г) представляет собой s-состояние, т. е.
сферически симметрична. Тогда, если ограничиться учетом в (3.30)
только ближайших соседей, мы получим шесть одинаковых членов,
т. е. %к будет иметь вид
- Ш (0) +21 (100) {cos aki +cos ak2-^r cos ak3}. (3.35)
На рис. 3.7, аиб представленыизоэнергетические поверхности,
построенные согласно (3.35) для плоской квадратной и объемной
кубической решеток.
В заключение упомянем два других приближенных метода
нахождения волновых функций и энергетического спек
*) Следует отметить, что из-за условия нормировки изменение значения
ф в промежутке между атомами влечет за собой соответствующее изменение ф
вблизи атома, что в свою очередь вызывает смещение атомных потенциалов
%а.
208
тра электронов в кристалле в одноэлектронном приближении:
Метод ячеек. Кристалл разбивается на одинаковые
многогранники плоскостями, делящими межатомные расстояния
