Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
(см. фиг. 37 и задачу 1.8). Отсюда
0 = где ?/с2= IO-18 м-1.
Таким образом, если длина трубки составляет 10 м, то O = = Ю-15 рад, а полное отклонение равно
i(g/c2K2~10-" м.
17 Заказ 110 506
решения
Эта величина чрезвычайно мала по сравнению с длиной волны света; трудно вообразить себе, каким интерферометрическим (или каким-либо другим) методом можно было бы обнаружить такое смещение. Поэтому в тех случаях, когда лазеры используются для юстировки (как, например, в Стэнфордском линейном ускорителе), они предназначаются для коррекции искажений, обусловленных кривизной поверхности Земли. Разумеется, это гораздо более заметный эффект, ибо световой луч у поверхности Земли не искривляется настолько сильно, чтобы начать двигаться по «околоземной круговой орбите».
Решение 20.2. Рассмотрим последовательность свободно падающих наблюдателей; каждый из них занимает локальную инер-циальную систему длиной d.i. Пусть п-й свободно падающий наблюдатель покоится относительно Солнца в тот момент, когда
фотон проходит через левую границу его инерциальной системы Sn, и пусть он наблюдает фотон, движущийся под углом {) относительно направления инерциального движения системы (см. фиг. 38). Когда фотон покидает его систему и влетает в следующую, 5л+1, которая в этот момент покоится, наш наблюдатель находится в состоянии свободного падения в направлении угла <р со скоростью
Фотон входит в систему ол+1> двигаясь при этом в направлении ¦o-fdO; закон преобразования направляющих углов траектории фотона (см. задачу 1.8) есть
dl
система Sn Фиг. 38.
ft „ Л, GM
cos = L « cos -ф - ? sin2 + 0 (?2),
1 — ? сое -ф COS 1|3 — COS tjj = — ? Sin8 Ife
откуда ГЛАВА 20
507
dO = ? sin ? sin Ф = J-^r)-Zs-J-dt. (1)
[Rl +^2)2
Таким образом, полный угол отклонения б есть
б = J db = GMR0 J -JLt e ™ , (2)
(Rl+П2
что составляет лишь половину наблюдаемого значения! В чем же дело?
В процессе вычислений мы предположили, что последовательность «жестких линеек» с наблюдателями размещена вдоль линии у = R0, параллельной линии у =0, причем (n + 1)-я линейка локально параллельна п-й линейке. Отклонение фотона по отношению к этой последовательности линеек мы и вычисляли Однако мы не приняли во внимание тот факт, что пространство-время вблизи Солнца искривлено (приливные силы!), и на самом деле последовательность локально параллельных линеек является кривой линией по отношению к линии у = 0. Таким образом, мы фактически рассчитывали отклонение фотона относительно этой кривой линии. Итак, реальное отклонение, измеряемое удаленным наблюдателем, должно быть результатом обоих эффектов: как отклонения фотона по отношению к системе локально параллельных линеек, так и искривления (по отношению к у = 0) линейной конфигурации последовательности этих линеек.
Решение 20.3. Не теряя общности, мы можем рассмаривать чисто экваториальное движение. Тогда метрику в гравитационном поле Солнца можно приближенно записать следующим образом:
+ ( 1 + (dr2 + г2d(p2). (1)
Изотропные геодезические для этой метрики имеют вид
b ¦ , 2 M ,is /Г1\
— = Sin9 H—— (1— costp). (2)
Для угла а между Солнцем и звездой (фиг. 39), измеряемого земным астрономом, справедливо соотношение
tg « = tg (я - ф? + 6а) ^ - tg ф? + cJ* -
iL
ur
Ф в
L ^ + y^jdrJdX
= [г%Ъ> (8)
17« 508
РЕШЕНИЯ
где ич> и и' — ортонормированные компоненты 4-скорости фотона, а для определения углов мы воспользовались изотропным видом
OC=Jt-tpB+6bt
Фиг. 39.
метрики (1) Если теперь обратиться к уравнению (2), уравнение (3) примет вид
ш
tg ф?-
ба
COS2 ф?
sin Фе ¦ — 0~СМф?) , 2 M .
COSCpgH--у Sin ф?
2 M Л -COSffip)
>tg©B--TT--T^il
s b cos2 tpB
откуда
oai
2 M
(1 + cos а):
2М /!+cosGtyfr Rp \1 — cos а /
(4)
(5)
Этот угол Ьа и представляет собой угол отклонения фотона, измеряемый земным наблюдателем (см. также [1], раздел 40.3 и приводимую там литературу).
Решение 20.4. Так как мы собираемся вычислить только низший порядок отклонения, обусловленного J, мы ожем ограничиться рассмотрением лишь членов, линейных по У, а в выражении для линейного элемента положить M = 0. Тогда полное отклонение первого порядка будет представлять собой сумму обычного линейного по M члена и некоторого члена, линейного ГЛАВА 10
509
по J. Итак, если записать (для наших целей) метрику в виде (см. задачу 17.1)
ds2 = — d/2 - sin2 О dt d9 + dr2 + г2 dQ2, (1)
где вектор J направлен вдоль оси г, то уравнения движения можно найти из вариационного принципа (см. задачу 7.25)
б J ( — Z2--Sin2 Щ + г2 + г2®2 + г2 sin2 Oqj2JdA, = 0, (2)
где точки означают производные по аффинному параметру X (например, t = dt/dX и т. д.). Уравнения Эйлера для вариационного принципа (2) в первом порядке по J имеют вид
JL Ц- sin2 Оф) = 0, (За)
-Jj- ^r2Sin2 О -Ц- sin2 O/j = 0, (36)
откуда следует, что величины
Pq = t -J- -у- 8ІП20ф, (ЗВ)
21
Яф SS9Z-2Sin2 О—j- sin2 OP0 (Зг)
являются постоянными и
