Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
f = н>2+ /-Sin2O92Sin2O9P0, (Зд)
-fL (Г2Ь) = P14, COS О/г2 sin3 О. (Зе)
Третий интеграл движения (в добавление к P0 и Рф) можно найти из уравнения (Зе):
^+i&sL2 = const (^o-(4)
Мы разобьем теперь полное искривление на три вклада, каждый из которых определяется различным взаимным расположением (см. фиг. 40) траектории светового луча (которая в низшем порядке представляет собой прямую линию) и направления момента количества движения J Солнца. Поскольку мы работаем с точностью лишь до линейного порядка, полное отклонение обязано быть суммой этих вкладов.
В обоих случаях, показанных на фиг. 40, а и б, проекция момента количества движения светового пучка относительно центра Солнца на /равна нулю, а в случае, представленном на фиг. 40, в, эта проекция равна единице. 510
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим сначала фиг. 40, а и б. В обоих случаях Яф = 0 (поскольку Рф есть интеграл движения). Нам необходимо теперь получить функцию /•(#). Из уравнения (Зг) имеем
ф = -^ = 0(7), (5а)
а из уравнения (4)
P^ = гЧ = L = const. (56)
Тогда из уравнений (Зд) и (5а) следует
F=rtf2, (5в)
но этот результат совместно с уравнением (56) означает, что свет будет двигаться по прямой! Таким образом, в случаях, представленных на фиг. 40, а и б, J не дает вклада в отклонение.
a, d Q
Фиг. 40.
Рассмотрим теперь фиг. 40, в. В этом случае мы можем положить О = л/2 и 4 = 0 (тогда в силу уравнения (Зе) Ф всегда будет равно нулю) и соответственно этому решать наши уравнения. Используя соотношение
d d<p d /Яф 2JP0\ d
Ж = Ж dip = VT5""^ ~W) и вводя определения
и = I/Г, { зе P о/P ф, мы можем записать уравнение (Зд) в виде
и"+ и = — бы2 У/ — 2 Jfuli — 4 Jfuu", (6)
где и' =du/d(p. Будем решать уравнение (6) методом возмущений;
п у ctfe
(i = u0 + u11 (7) ГЛАВА 10
511
где U у---Є {J). Тогда с точностью до нулевого порядка по малому параметру разложения уравнение (6) принимает вид «о+«о = 0, откуда следует
«о = у cos ф, (8)
где Ь — прицельный параметр, и мы выбрали систему координат таким образом, что свет распространяется параллельно оси у. В следующем порядке U1 должно удовлетворять уравнению
W1+U1 = - -^(Sin2 <р + cos2 = (9а)
откуда
"і = — Щг- (96)
Таким образом, из (7), (8) и (96) получаем, что искомое решение имеет вид
и ъ* ~ cos <р--Ц?-, (10)
Отклонение траектории а на каждой асимптоте находим, полагая и = 0 (г = со). Для одной асимптоты фя»(л/2)+а, так что созф«=« — а и
(И)
Для другой асимптоты вклад в отклонение точно такой же, и в результате полное отклонение есть
бф = 2о—~ (12)
(здесь мы использовали тот факт, что S = P0ZPtp^b-1).
Исходя из формулы (12) и результатов для случаев, представленных на фиг. 40, а и б, мы можем записать полное отклонение света, обусловленное наличием количества движения момента J, в виде
бф==_і^_( (13)
где п — единичный вектор в направлении момента количества движения фотонов относительно центра Солнца.
Отметим, что безразмерный малый параметр, по которому мы проводили разложение в ряд теории возмущений, есть
I J \ 1,7 • IO48 г • см2/с ]П 1а о in 7
1?= (7 ¦ 10?0 см)2 1а-210"' дуговых сек. 512
РЕШЕНИЯ
Решение 20.5. Показатель преломления плазмы есть
п = (1-v*/v2)'\
где Vp — плазменная частота (ур = ПеЄ2/лте). Известное уравнение, определяющее форму траектории луча при распространении света в неоднородной среде [см., например, книгу Росси Rossi В., Optics (Addison —Wesley, 1957), p. 54]1*, имеет вид
d(nm)/dt = Vn, (1)
где т — единичный вектор, касательный к лучу, а / — расстояние вдоль луча. Посколько вычисляемый нами угол отклонения мал, мы можем вполне корректно найти первый порядок изменения т, проинтегрировав уравнение (1) вдоль невозмущенной траектории у = Ь, — OO < х<. + Из приведенной в условии формулы для пе имеем
откуда
0,0657 / г \—7,5 / V \—2
"Ю Ытг) <2>
Тогда, используя
п (it оо) = 1 и г = (л;2+ г/2)'/.,
получаем
OO
-і - I 0,0657 ( V \-2 С / г \-7.5
« І+.-«І-» оГпт) Je (]?) X
x[x(^-) + y{j.)]dx. (3)
Член, содержащий х, обращается в нуль в силу симметрии относительно обращения знака х, в то время как член, содержащий у,
+ OO
можно представить в виде 2 § . Так как т — единичный вектор,
— OO
то при малых углах выражение (т I00-т |_о,)-у дает угол отклонения, который требуется найти. Полагая
г) SS b/Rs, г = г Ib
и используя соотношения
У = Ь, Xі = Ь2 (г2 — 1), dx = bz (г2-1)-*? dz,
11 См. также Ландау JI. Д., Jlutpuiuu, Е. М. Электродинамика сплошных сред. —M.: Гостехиздат, 1957, стр. 343. — Прим, перео, ГЛАВА 10
513
получаем
\—2
Vkopoh ^ 0,131 (-^)-^-6.5 J г-7.6(г«_ D-Vdar. (4)
Подставляя t*=\/z2, преобразуем интеграл из (4) в бета-функцию Эйлера (1/2)5(3,75; 0,5) = 0,158. Таким образом, угол коронального отклонения можно записать в виде
Оцорон js^ 0
<5>
Общерелятивистское выражение для угла отклонения Ооя представимо в виде
, ^ 8,5- 10-а
Оо«««--— (6)
(см. задачу 15.6). Приравнивая оба отклонения, получаем
