Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б==_SH0 (l+г)2 gl
[!-?,+^2-(1--?) (1 + 2?02)г]
Решение 19.25. Мы будем работать в системе единиц, где c = k= 1. Плотность вещества есть
Pbmh = wV*;
здесь /Пр —средняя масса бариона. Плотность излучения дается формулой
ризл = KaTi,
где а — постоянная Стефана — Больцмана, равная 8n5k*/\5hs, а /C=I (если мы рассматриваем только фотоны) или К = 1 +
т(п)/,== (если мы рассматриваем фотоны и нейтрино;
см. [2], стр. 575). Приравнивая рвещ и ризл, получаем
1 ^ Ризл = KaT1 Рвещ птр '
Уравнение Саха для степени ионизации х водорода гласит:
з
(2яmekT)2 ехр (— у а?тв1 кт)
U^c ~ tih3 ГЛАВА 10
491
где те — масса электрона, а а = -^. Если считать, что рекомбинация соответствует тому моменту, когда левая часть уравнения Саха примерно равна единице, то, используя уравнение (1), получаем
_ 15 (2KtneT)'!* ГПр
exP (т
ct2ffl^rI-
Разумеется, вид решения определяется экспонентой:
Т~а2те.
Если мы теперь попытаемся подобрать некоторое значение коэффициента, а затем вычислим правую часть и один раз проинтегрируем, то придем к более точному виду решения (ср. задачу 19.26):
7 ~ !<*•«..
Если же, наконец, начало преобладания вещества и рекомбинация водорода происходят при одной и той же температуре T, мы имеем
4 аТ3 4 mp ,'КаТ*\ 4 тп 320
а =
З п 3 TK \трп I 3
К
3^(137)2(1836)^4-109.
Решение 19.26. Уравнение Саха для степени ионизации водорода в условиях термодинамического равновесия имеет вид (в системе единиц, где A = C= 1)
X2 (2 л теТ)2е-в'Т
1-х пЛ3
(1)
где В — энергия ионизации, равная ^oPme {a = 1I191), а л —суммарная плотность числа протонов и атомов. Величина п связана с о, т. е: энтропией на барион, соотношением
4 аТ3
з а •
так что если мы положим х = V2 и примем для а значение 8я5/15/і3, уравнение (1) запишется в виде
^ifJLf = ехр I--^l
45 a \me J ™ [ 2(137)» J' Это уравнение легко решается методом итераций. Например, про- 492
РЕШЕНИЯ
делав процедуру итерации дважды, получим T
ІП6^8 + Т(10'53 + ІПІП6І)Г
И
те 2 (137)2 4330 К для a= IO8,
4050 К для а= IO9.
Решение 19.27. Из задачи 19.18 известно, что в радиационно-доминированном режиме вблизи сингулярности
п /8л шу/. , /8л пЛ'/.т? ...
P =(~з~Po-^oJ Tl. -g". (I)
Эти формулы справедливы для любого значения k в пределе ri-^-0. Отсюда имеем
t2 = 3J?1 = 3 (2) 32яр0R* 32яр' { >
где мы использовали тот факт, что в радиационно-доминирован-ную эпоху
P
Плотность энергии фотонов есть
OO
/i3 J ехр (q/kT) — 1 '
о
где а —постоянная Стефана — Больцмана, равная 8я6А4/15/г3. Для ультрарелятивистских электронов и позитронов (подчиняющихся статистике Ферми— Дирака) имеем
со
re+ re /j8 J ехр (q/kT) +1 8 о
Следовательно, суммарная плотность массы-энергии равна
4
P = P V + Pe+ + Pe- = ^r аТ1,
откуда
1 Ii 11 3 Ina) 1
Если мы включим в рассмотрение нейтрино и предположим, что
они обладают химическим потенциалом, равным нулю (см. [2],
раздел 15.6), то, поскольку им соответствует только одно спино- ГЛАВА 10
493
вое состояние, получим
Pv =P^ =Pv =P^11 =Tear'-
Тогда суммарная плотность есть
и
3 ^4 /-Vi.
52я а
Решение 19.28. Для релятивистских частиц с E^p равновесное значение плотности при температуре T есть (см. решение задачи 19.27)
аТ1 для фотонов,
7
Ig аТ* для каждой разновидности нейтрино,
р(Г)= J En (р)dp --
^aTi для каждой разновидности электронов и мюонов.
Здесь а — постоянная Стефана — Больцмана, равная 8nbk*/l5h3. Для нашей задачи имеем
р(лЧ
'l+4 . ^ + 4 . ~)аТ* при R1
т. е.
'і+ 4 • -I. +2 • ~)аТ* при Ri /C1 = 25/4, K2 = 18/4.
= KaT*,
Воспользуемся теперь тем фактом, что расширение Вселенной является изэнтропическим. Из первого начала термодинамики следует, что энтропия на единицу объема для такого релятивистского газа определяется формулой
± = ^KaT3.
Поскольку объем V меняется как куб масштабного фактора, имеем
const = Ka(RT)3, т. е. при изэнтропическом расширении
K1Rin = KiRm
25 V/. 18, 494
РЕШЕНИЯ
Физически этот результат означает, что при аннигиляции мюоны передают свою энергию (точнее, энтропию) остающимся частицам, повышая за счет этого их температуру в (25/18),/з раз по сравнению с ожидаемым значением, следующим из закона линейного убывания T при возрастании R.
Решение 19.29. В стандартной модели горячей Вселенной гелий и дейтерий образуются, если говорить упрощенно, за счет следующих процессов: 1) «вымораживание» неравновесного значения отношения концентрации нейтронов к концентрации протонов1' в тот момент, когда слабые процессы распада п-*-р начинают протекать медленнее, чем падает температура при расширении; 2) образование дейтерия в реакции /г + р->D+ 7 в то время, когда большинство свободных нейтронов еще не распалось; 3) выгорание почти всего дейтерия в реакциях образования гелия: D + D ч-He3 + /г ->- H3 + р или D + D ->H3 + p, а затем H3 + D->-He4+ /г.
Теперь мы можем дать ответ на вопросы задачи
