Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Orp у Tv rP Vpa і гр apv = '0;v='0,v — ' a 1 Ov-I- ' 0 ^ av —
= -f +рГ°оо-(р + р)(1п|?|'/.),о, где мы воспользовались (см. задачу 7.7) формулой
raa? = (ln|gF),?.
Отсюда следует
dp/dt = -p-p-±(R*) И d(pR3) = -3pR2dR,
что и представляет собой одно из фридмановских уравнений первого порядка (см. задачу 19.14).
>Д 16 Заказ 110482
рбшвния
Решение 19і17. Для P = P = O и A = -I фридмановское уравнение первого порядка
сводится к уравнению /?=1, откуда следует, что R = t, т. е. заданное выражение для линейного элемента действительно представляет собой метрику Фридмана. Поскольку метрика сферически-симметрична, радиальная координата кривизны есть
г = t sh х-
Нетрудно догадаться, что искомым преобразованием временнбй координаты является
T = t ch X,
а затем можно вычислить преобразованное выражение для интервала
ds2 = - dT2 + dr2 + г2 (dft2 + sin2 ft dtp2), соответствующего пустому пространству Минковского.
Решение 19.18.
а) Когда преобладает вещество, мы можем пренебречь давлением, и тогда плотность массы-энергии будет убывать по мере возрастания объема Вселенной:
P = Po(I)3. (1)
Определим новую временную координату («угол развертки») о помощью соотношения
dr] = dt/R.
Тогда фридмановское уравнение перепишется в виде
или
Проинтегрировав его, получим
R1Ii
dRVi
D1It
arcsin уд-H7 для ? = +1,
(-KGpaRl)''
R1/,
для А = 0,
(I пор»/??)
Ч ^in к=="> (3)
d1u
Arsh у^-для А =—1.
JxGpu/? §ГЛАВА 10
483
Из задачи 19.15 мы знаем, что
з Щ
Rb
(2% -1)Я„»
_ AkG рр
(k = ±l).
(4)
(5)
Так как левая часть (5) положительна, ясно, что A = sign(2^0— 1). Следовательно, в уравнении (3) имеем
2<7о
XPotfS =
(k = ±l).
Яо|2<?о-1 Г
Разрешая уравнение (3) относительно R, получаем
я0 (2 JV (^cost0 ДЛЯ^=+1» 1
R =
D
для fe = 0,
для ft = — 1.
4 Я§Я8т)2
-22—J7- (ch ті ¦
H0 (1 -2<7„)/f
Наконец, интегрируя соотношение dt = Rdr\, находим
^s(T)-Sinr)) для k=+l,
для k = 0,
——Tr(ShT)-T)) для k = — 1. I —2аЛг/' К ' "
t:
Но (2<?о-1) 12 ^otforI8
Яо
Но (1 —2?)*
При fe = 0 невозможно исключить из ответа /?0; это отражает всего лишь тот факт, что Вселенная в данном случае обладает произвольным масштабом пространственных расстояний и ее геометрия «выглядит» одинаково во все моменты времени. Значение R0 не будет входить в вычисления любой физически измеримой величины.
б) Когда преобладает излучение, масса-энергия, содержащаяся в данном объеме сопутствующего пространства, не будет постоянной. В этом случае существует дополнительный эффект убывания плотности за счет красного смещения фотонов, и поэтому
Аналогом уравнения (2) является уравнение
(Ъ\4
(!)
і—J
8nG — Po
W
R* •
Чі 16*484
РЕШЕНИЯ
ИЛИ
_dR
JlGp0Rt-kR*y"
¦dr\)
решение этого уравнения имеет вид
sin Г) для A = +1,
R = I^Gp0RiftX
(6)
Tj для A = O,
sh т] для A = —1.
Вместо уравнения (4) мы получаем теперь (см. задачу 19.15)
8л G р0
<7о =
а вместо уравнения (Б) имеем
k
3 ну
Rl-
(А = ±1).
(<?о-1)Я?
Следовательно, уравнение (6) заменяется на
Г_ft
T GpoRiO'
для А = ±1,
(ft-іря?
HlRtl Для A = O, а интегрирование соотношения dt = Rdr\ дает
i[^]0-cosri) для А=+1,
M i-HoRW
для A = O,
^ [-^VJ(Chri-I) для A = -I.
Решение 19.19. После того как пуля достигла нерелятивистской скорости, мы имеем (из результатов задачи 19.7).
const
= dLl-ZJLIl---Zl-UR dt Иг HD Ht ГІР АГЧ>
drp dr dR lFdR~df
dr dR
(1)
где r — координата Робертсона —Уокера, связанная с собственными расстояниями гр посредством соотношения drp = Rdr (из него и следует последнее из написанных выше равенств). Для фридмановской Вселенной с A = O имеем
откуда
R ~ГЛАВА 10
485
Тогда из уравнения (1) следует
drldR ~
и мы получаем
г = А+ В/Я1''.
При t-+Qo координата пули гпули приближается к значению г = А. Собственное расстояние между наблюдателем, находящимся в точке г = А, и пулей равно
RAr = BR1'*.
Следовательно, собственное расстояние стремится к бесконечности, даже если скорость пули [согласно уравнению (1)] приближается к скорости космологического наблюдателя.
Если A =—1, то при больших временах величина R становится постоянной, и из уравнения (1) следует
drldR ~ R-2,
откуда
г = A+BlR.
При оо координата пули г достигает значения А, но собственное расстояние RAr между пулей и наблюдателем, находящимся в точке г = A, достигает некоторого постоянного значения В.
Решение 19.20. Если во фридмановской метрике время выражается через «угол развертки» т], определяемый соотношением
dr\ = dt/R (t),
то выражение интервала для фотона, распространяющегося по радиусу (dft = dcp = 0), принимает вид
О = ds2 = R2 (ті) (— dr)2 + d%2),
где dx2 = dr2/(l —г2) — «тригонометрическая» радиальная координата на 3-сфере (см. задачу 19.5). Из задачи 19.18 следует, что время жизни Вселенной (промежуток между двумя нулями функции R) соответствует промежутку Ar] = 2л. За это время фотон пройдет расстояние А% = 2л, т. е. обежит Вселенную в точности один раз.