Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 137

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 152 >> Следующая


Orp у Tv rP Vpa і гр apv = '0;v='0,v — ' a 1 Ov-I- ' 0 ^ av —

= -f +рГ°оо-(р + р)(1п|?|'/.),о, где мы воспользовались (см. задачу 7.7) формулой

raa? = (ln|gF),?.

Отсюда следует

dp/dt = -p-p-±(R*) И d(pR3) = -3pR2dR,

что и представляет собой одно из фридмановских уравнений первого порядка (см. задачу 19.14).

>Д 16 Заказ 110 482

рбшвния

Решение 19і17. Для P = P = O и A = -I фридмановское уравнение первого порядка

сводится к уравнению /?=1, откуда следует, что R = t, т. е. заданное выражение для линейного элемента действительно представляет собой метрику Фридмана. Поскольку метрика сферически-симметрична, радиальная координата кривизны есть

г = t sh х-

Нетрудно догадаться, что искомым преобразованием временнбй координаты является

T = t ch X,

а затем можно вычислить преобразованное выражение для интервала

ds2 = - dT2 + dr2 + г2 (dft2 + sin2 ft dtp2), соответствующего пустому пространству Минковского.

Решение 19.18.

а) Когда преобладает вещество, мы можем пренебречь давлением, и тогда плотность массы-энергии будет убывать по мере возрастания объема Вселенной:

P = Po(I)3. (1)

Определим новую временную координату («угол развертки») о помощью соотношения

dr] = dt/R.

Тогда фридмановское уравнение перепишется в виде



или

Проинтегрировав его, получим



R1Ii

dRVi



D1It

arcsin уд-H7 для ? = +1,

(-KGpaRl)''

R1/,

для А = 0,

(I пор»/??)

Ч ^in к=="> (3)

d1u

Arsh у^-для А =—1.

JxGpu/? § ГЛАВА 10

483

Из задачи 19.15 мы знаем, что

з Щ

Rb

(2% -1)Я„»

_ AkG рр

(k = ±l).

(4)

(5)

Так как левая часть (5) положительна, ясно, что A = sign(2^0— 1). Следовательно, в уравнении (3) имеем

2<7о

XPotfS =

(k = ±l).

Яо|2<?о-1 Г

Разрешая уравнение (3) относительно R, получаем

я0 (2 JV (^cost0 ДЛЯ^=+1» 1

R =

D

для fe = 0,

для ft = — 1.

4 Я§Я8т)2

-22—J7- (ch ті ¦

H0 (1 -2<7„)/f

Наконец, интегрируя соотношение dt = Rdr\, находим

^s(T)-Sinr)) для k=+l,

для k = 0,

——Tr(ShT)-T)) для k = — 1. I —2аЛг/' К ' "

t:

Но (2<?о-1) 12 ^otforI8

Яо

Но (1 —2?)*

При fe = 0 невозможно исключить из ответа /?0; это отражает всего лишь тот факт, что Вселенная в данном случае обладает произвольным масштабом пространственных расстояний и ее геометрия «выглядит» одинаково во все моменты времени. Значение R0 не будет входить в вычисления любой физически измеримой величины.

б) Когда преобладает излучение, масса-энергия, содержащаяся в данном объеме сопутствующего пространства, не будет постоянной. В этом случае существует дополнительный эффект убывания плотности за счет красного смещения фотонов, и поэтому

Аналогом уравнения (2) является уравнение

(Ъ\4

(!)

і—J

8nG — Po

W

R* •

Чі 16* 484

РЕШЕНИЯ

ИЛИ

_dR

JlGp0Rt-kR*y"

¦dr\)

решение этого уравнения имеет вид

sin Г) для A = +1,

R = I^Gp0RiftX

(6)

Tj для A = O,

sh т] для A = —1.

Вместо уравнения (4) мы получаем теперь (см. задачу 19.15)

8л G р0

<7о =

а вместо уравнения (Б) имеем

k

3 ну

Rl-

(А = ±1).

(<?о-1)Я?

Следовательно, уравнение (6) заменяется на

Г_ft

T GpoRiO'

для А = ±1,

(ft-іря?

HlRtl Для A = O, а интегрирование соотношения dt = Rdr\ дает

i[^]0-cosri) для А=+1,

M i-HoRW

для A = O,

^ [-^VJ(Chri-I) для A = -I.

Решение 19.19. После того как пуля достигла нерелятивистской скорости, мы имеем (из результатов задачи 19.7).

const

= dLl-ZJLIl---Zl-UR dt Иг HD Ht ГІР АГЧ>

drp dr dR lFdR~df

dr dR

(1)

где r — координата Робертсона —Уокера, связанная с собственными расстояниями гр посредством соотношения drp = Rdr (из него и следует последнее из написанных выше равенств). Для фридмановской Вселенной с A = O имеем

откуда

R ~ ГЛАВА 10

485

Тогда из уравнения (1) следует

drldR ~

и мы получаем

г = А+ В/Я1''.

При t-+Qo координата пули гпули приближается к значению г = А. Собственное расстояние между наблюдателем, находящимся в точке г = А, и пулей равно

RAr = BR1'*.

Следовательно, собственное расстояние стремится к бесконечности, даже если скорость пули [согласно уравнению (1)] приближается к скорости космологического наблюдателя.

Если A =—1, то при больших временах величина R становится постоянной, и из уравнения (1) следует

drldR ~ R-2,

откуда

г = A+BlR.

При оо координата пули г достигает значения А, но собственное расстояние RAr между пулей и наблюдателем, находящимся в точке г = A, достигает некоторого постоянного значения В.

Решение 19.20. Если во фридмановской метрике время выражается через «угол развертки» т], определяемый соотношением

dr\ = dt/R (t),

то выражение интервала для фотона, распространяющегося по радиусу (dft = dcp = 0), принимает вид

О = ds2 = R2 (ті) (— dr)2 + d%2),

где dx2 = dr2/(l —г2) — «тригонометрическая» радиальная координата на 3-сфере (см. задачу 19.5). Из задачи 19.18 следует, что время жизни Вселенной (промежуток между двумя нулями функции R) соответствует промежутку Ar] = 2л. За это время фотон пройдет расстояние А% = 2л, т. е. обежит Вселенную в точности один раз.
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed