Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
г] ~U>UZ1 ^ ю» Гц У 1I
ИЛИ
\-0,36
Ь л 1 ( V \—О.з
^ RZ^4'1 [-WWj
При меньших прицельных параметрах b доминирует корональное отклонение.
Решение 20.6. Связь между q> и О (см. фиг. 41) дается законом преломления Снеллиуса («закон синусов»):
л = ф/0. (1)
Чтобы линза могла моделировать гравитационное отклонение света, требуется, чтобы выполнялось соотношение
0 = ф-0 = 1,75"/Ь. (2)
Из уравнений (1) и (2) следует
O= 1,757&(п- 1)= 1,6- XQ-bIb. (3)
Из геометрических соображений ясно, что O = — dh/db, так что мы приходим к уравнению
dh 1,6-10-5
db Ь
откуда
h = Zz0- 1,6- IO-8Inft. 514
РЕШЕНИЯ
Решение 20.7. В метрике Шварцшильда, записанной в координатах кривизны, уравнение для некруговых орбит можно представить в виде (см., например, решение задачи 15.9)
и" + и = ~ + Ши2 = а + Ьи2, (1)
L2
где и=1/г, и" =Zd2Ufdy1, a L —момент количества движения на единицу массы движущейся по орбите частицы (L = const). Решение в нулевом порядке, соответствующее линейной части уравнения (1), есть
ип = а + A cos <р, (2)
где Л —некоторая постоянная. Тогда в следующем порядке решение уравнения (1), U1, должно удовлетворять уравнению
и{ + U1 bul = b (а3 + 2аА cos <р + A2 cos2 <р) =
= Ьа2 +ЬА2 + 2 ab A cos q> + у M2 cos 2<р. (3)
Решение неоднородного уравнения (3) есть
U1 = b [а2 + у Л2) + abA<p Sin9- (ЬА2/6) cos 2<р, (4)
и, таким образом,
и =-Jf^ U0 +U1. (5)
Вековые изменения обусловлены вторым членом в выражении (4) для U1: мы можем представить его в более удобном виде, если воспользуемся тождеством
вер Sin9 = COS (9 — еср) — COS9+ (^ (є2). (6) ГЛАВА 10
515
Поскольку, согласно уравнению (1), ab есть малая величина, уравнение (4) с помошью тождества (6) можно привести к виду
Ul^b (а2 + - А2) + А cos (cP - ab(P) - A cos <р - (ЬА2/6) cos 2<р, (7)
откуда следует, что смещение перигелия за период одного обращения по орбите равно
б<р = 2nab = 6лМ2/Ь2. (8)
Мы можем выразить L через большую полуось а и эксцентриситет е орбиты с помощью стандартной формулы классической механики
L2 = Ma (1-е2). (9)
Тогда уравнение (8) примет вид
Я 6njW , 1 п\
= (Ю)
в пределе малых е оно переходит в решение задачи 15.7. Решение 20.8.
а) Да. Заметим сначала, что масса частицы постоянна: dm2___dp -p _ 2р dp =Q
dT dT к dr
Поскольку р = ти и пг = const, сомножитель т можно опустить в каждом члене уравнения для действующей на частицу силы. Тогда это уравнение сведется к уравнению
du»/d% = — (T)tivOiV + иаФ,аи»),
которое ясно показывает, что движение частицы не зависит от массы.
б) Да. Вблизи поверхности Земли эту поверхность можно считать1 плоской. Направим ось z вертикально вверх; тогда Ф = Ф(г), и «уравнение источников» для Ф имеет вид
д2Ф/дг2 = 0.
У земной поверхности потенциал можно записать как
Ф = az + b.
Постоянную а можно определить, рассматривая падение массивной частицы из состояния покоя и полагая начальное значение ее ускорения равным g. Если в уравнении для силы положить u°=l, Uj' = 0, мы будем иметь
— mg = dpz/di = — тФ,г = — та,
откуда следует, что a = g. 516
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим теперь фотон, движущийся вертикально вверх. За время dt = dz он теряет энергию
dp0 = — раФ, adx0 = — реФ,* dt. Поскольку для фотона Pt = P0, потеря энергии составляет
dp0 = — p°g dz. Для наземного эксперимента и мы получаем
Д р°/р° == Av/v = —g Az
в полном согласии с результатами эксперимента Паунда — Ребки.
в) Нет. Поскольку для фотона p$dx® = 0, его траектория описывается уравнением
dpv- = — 04t>,a.dx» = — dxa<\\ap>\
Так как dp пропорционально р, фотон должен распространяться по прямой линии; искривление траектории отсутствует.
(Примечание. Более того, в противоречии с наблюдениями эта теория предсказывает отстающее, а не опережающее смещение перигелия планетных орбит, равное
6 = 2 пМуР,
где б —смещение перигелия за одно обращение по орбите, J — момент количества движения планеты на единицу массы. Для почти круговых орбит эта формула предсказывает смещение, равное
6 = 2 пМ3/г,
что составляет примерно ^ 13" за столетие для орбиты Меркурия.)
Решение 20.9. Любые эталонные часы можно прокалибровать по отношению к часам, находящимся на бесконечности, которые измеряют время t. Тогда отношение скорости хода часов, расположенных в точке с координатами (г, О) н обладающих 4-скоростью и, к скорости хода часов на бесконечности равно
— =_!__П)
dt иНг.Ъ)
В решении задачи 16.19 мы показали, что на поверхности жестко вращающейся равновесной конфигурации идеальной жидкости и0 = const. Следовательно,
dx/dt = const,
и все часы на поверхности Земли имеют одну и ту же скорость хода! Дело здесь в том, что доплеровский эффект в точности компенсирует эффект красного смещения. ГЛАВА |8
Решение 21.1.
а) Формулу для производной от определителя можно найти, например, из тождества
det Л = esP<in л>;
оно справедливо для любой неособенной матрицы Л. (Здесь In А понимается как обратная функция от еА, где экспонента опреде ляется в виде степенного ряда.) Тогда мы имеем
