Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
а) «Вымороженное» значение отношения нейтронных и протонных концентраций не изменяется, но при любой данной температуре для более высокой концентрации барионов реакции протекают более интенсивно. Следовательно, превращение легких ядер в гелий будет происходить более полно, и в результате образуется больше He4 и меньше D.
б) Реакции п-*-р идут медленнее, и поэтому после закалки остается больше «вымороженных» нейтронов. Скорости других реакций не меняются, и в итоге образуется больше He4 и больше D.
в) Направление реакции n + v*-> р + е~ смещается вправо за счет энергии вырождения (ферми-энергии) нейтрино; меньшее количество нейтронов даст меньше He4 и меньше D.
г) Тот же случай, что и предыдущий, но для реакции v + p<->-<-»/г + е+, поэтому образуется больше He4 и больше D.
д) Время расширения связано с плотностью соотношением
Hl2^r + C0nsi
Следовательно, увеличение G означает, что каждая стадия с различной плотностью будет занимать меньшее время. Это приводит к более высокому значению отношения концентраций нейтронов и протонов. Малые изменения G не оказывают существенного влияния на тот факт, что почти все нейтроны идут на образование дейтерия, так как время их распада по-прежнему велико. В итоге образуется больше и дейтерия и больше Не4.
!) В ряде работ советских авторов этот процесс называется «закалкой». — Прим. перев. ГЛАВА 10
495
Решение 19.30. Введение космологической постоянной эквивалентно предположению о наличии во Вселенной равномерно распределенной идеальной жидкости с эффективной плотностью и давлением
Рэфф = (8я)-гЛ, р9фф = —(Sn)-1A. Динамические уравнения задачи 19.14 сводятся к одному
R2 = V3AR2-,
запишем решение этого уравнения:
R = RJ/и, T0- = V3A.
Метрика тогда приобретает вид
ds2 = — dt2 + Rle21IT «(dr2 + r2du2). (1)
Чтобы преобразовать ее к явно статическому виду, введем «координату кривизны»
г'=RJItH
и получим
ds2 = — dt2 + (dr' - г'dtIT0)2 + r'2du2. Исключим теперь gr>t с помощью преобразования
t = t' + \T0 In(-^-l) и найдем окончательно
ds2 = —(l -l^dt'*+ (1 ydr'2 + r'2du2. (2)
Интерпретация метрики (1) как нестатической космологической модели основана на предположении, что координаты являются сопутствующими по отношению к галактикам, плотностью которых в динамических уравнениях можно пренебречь.
Решение 19.31. Полная система уравнений, описывающих
однородные изотропные модели, имеет вид (см. задачи 19.13 или 19.14)
B-Y — —k і 8лр /і ^
Rj "Ж"1" 3 ' Vla^
2(4)=-(4)-8^ (1б)
Поскольку наша модель характеризуется только плотностью массы-энергии пыли р0 и плотностью массы-энергии, обусловленной «поляризацией вакуума» Л, имеем
р = р0 + Л/8я, (2а)
р = — Л/8п. (26) 496
РЕШЕНИЯ
Так как все производные по времени выше второго порядка можно выразить как линейные комбинации R и R с помощью уравнений (1), необходимое и достаточное условие того, что решение является статическим, запишем в виде
R = R = 0. (3)
Если подставить в (1) условия (2) и (3), система примет вид
k/R2 = (8яр0 -f- Л)/3, (4а)
k/R* = A, (46)
откуда следует
p0 = Л/4 л, (5а)
R = A-K (56)
Поскольку ро > 0, из уравнения (46) следует, что & = + 1. Чтобы исследовать «Вселенную Эйнштейна» на устойчивость, объединим сначала уравнения (1), что даст нам
2R 8я о 8я . 2 . ...
-^-=-тр-8яр= —-д-ро+уЛ, (6)
а затем положим
R = A-K+8R, (7а)
ро = 4^ + бро- (76)
Тогда уравнение (6) с точностью до бR примет вид
2Л^(6/?) = -^6Ро. (8)
Далее, поскольку полное количество пылевой материи сохраняется, ее тензор энергии-импульса подчиняется условию
p0i?3 = COnst,
откуда
^ = -3T- Л
Тогда из уравнения (8) следует
(otf)-AOtf = 0, (10)
т. е. возмущение 6R со временем экспоненциально растет. Следовательно, данная модель неустойчива.
Решение 19.32. Линейный элемент «Вселенной Эйнштейна» с &= + 1 имеет вид (см. задачу 19.5)
ds2 = Ri [d%2 -fsin2x (d®2 + sin2 О гіф2)], (1) ГЛАВА 10
497
где
O==Sx=sSlt. 0<O =SCя, о =SScp Следовательно, объем V есть
л
V = ] 4яR3 sin2 X d% = 2я2R3. (2)
о
В задаче 19.31 мы нашли, что в этой модели
R = (4яр0)~ , (3)
где р0 —плотность массы-энергии пылевидной материи. Подставляя это соотношение в интеграл (2), получаем
где мы на этот раз ввели в явном виде фундаментальные константы с и G.
Решение 19.33. Пусть Ab —эйнштейновское значение космологической постоянной, так что для эйнштейновской Вселенной (см. задачу 19.31)
р0 = А?/4я и R = Ae4'.
Для всех космологических моделей, заполненных пылью, даже с A^=O1 справедливо условие
р R3 = const.
Запишем его в виде
Ors = SS^ <»
что эквивалентно записи
Л = Ая(1 + е)2.
Тогда единственное остающееся в данной модели динамическое уравнение задачи 19.14 принимает вид
R> = V (P) = ^-I(2) v ' з зA i'R 1 '
Для малых R имеем R2<^~>l/R, т. е. Расширение макси-
мально замедляется, когда і? достигает минимума. Полагая dV/dR равным нулю, находим, что это происходит при
R = Rm = ( І+еГ'Л-'/.. (3) 498
