Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б (det Л) = esp (1п ^>6 (Sp {In А\) = (det Л) Sp (Л_1бЛ),
откуда для g = det (gap) получаем
Sff = ^gepSgap;
здесь мы воспользовались симметрией тензора ga?. Искомый результат получаеіся непосредственно
б (_ g)'/. = - і (- g) -V* Og = і (_ g)4. g^?6ga?.
б) Из определения g0^,
rt?v = 6av,
имеем
AgepSfp*+ Sep Sffpv = O.
Умножая на gv\ получаем
8ff*p S1^ffvVp Sgap = О,
откуда и следует ответ:
= ^vVxp Og?Y-
Решение 21.2. Вариация L, получающаяся в результате вариации переменных поля дается формулой
Операция варьирования коммутирует с частным дифференцированием: 518
РЕШЕНИЯ
так что уравнение (1) можно переписать в виде
_J_(dL (-а'Мдф*. ахм. \ ЗФ^.ц /
Второй член представляет собой полную дивергенцию, приводящую к появлению в oS члена, имеющего вид интеграла по поверхности. Следовательно, он равен нулю, так как мы полагаем 6ФЛ =0 на поверхности. Таким образом,
0==JL_ = Jk___д (dL (-g)v'\ 1
6ФА 0Ф-4 дх)1 \ /(— g)*/!'
Решение 21.3. Поскольку L(—g)l/' d*x — скаляр, он не изменяется при инфинитезимальном преобразовании координат:
Переобозначая постоянную интегрирования, условно записанную в виде переменной, мы можем вновь вернуться от dxx к d*x. Следовательно, результирующее изменение L(—g)4> есть производная Ли (см. задачу 8.17), так что мы можем записать
0 = OS = J Xx (L (— gfb) d*x =
Первый член в подынтегральном выражении обращается в нуль в силу уравнений движения (задача 21.2), и уравнение (1) сводится к уравнению
Поскольку
"^lffuv — 1ц; V Ч- ц»
мы получаем
о = $ 7? V (-g)^d*x = V (- gy<>d*x -$ T^; V^ (-gY''d*x.
Первый член имеет вид ^
5 (TiivU V (- gY'*d*x - S ((-g)l/'T»%), V d*x
и сводится к поверхностному интегралу, который обращается в нуль Поскольку Ili-произвольная величина, из уравнения (2) следует
Tiivi v = 0. ГЛАВА 10
519
Решение 21.4.
а) При независимом варьировании
guv SVv + Sffnv,
rv —Taiiv И- Sfativ
мы получаем
б ((_ ?)¦/, /?) = (_ gy/ш gnv ORiiv + Яб (_ g)4. + (_ gyn ^v (і) Так как
^nv — TctJiv, a Tati0ti V -f- TttctaTV r\,arv, (2)
первый член в правой части уравнения (1) можно записать в виде (- gYW бRvlv = ((- gY>> ^v 6Г<V).a - ((- g)' '' ^v 6ГV), V -
- ((- «Па SrallV + ((- V б Tttfia +
+(S)4' Г (6raaaГV+Tttaa 6ГV - 6TttvarV - Tttva 6ГV). (3)
Первые два члена в правой части выражения (3) представляют собой полные дивергенции и поэтому не дают вклада в 65, так как интеграл от дивергенции можно записать в виде интеграла по поверхности, а на поверхности области интегрирования 6Г = 0. Соответствующим образом переименовывая немые индексы, мы можем переписать выражение (3) в виде
(- = (- ёУ<> + 6^) 6Г% (4)
где
Af = g^T*a0 - (- ?)-'/.[(- a - - SctlTvaa, (5)
а» я р+SapTV. (6)
Из ,задачи 21.1 мы знаем, что
= (7)
откуда
0 = 6S = (16я)-і $ (- gY'-#x ОС + 8\В») 6Г V + 4.(16«)-* J ^gYWx(Rliv-JglivR)W+
(8)
Поскольку вариация 6Т°^ симметрична, из рассмотрения первого члена в уравнении (8) получаем
^gv + j 6v0?^ + = (9) 520
РЕШЕНИЯ
Умножая уравнение (9) на o°v и сворачивая индексы, находим
АУ+2В» + \-В» = 0. (10)
Производя ту же операцию с тождеством (5) и сравнивая его с (6), приходим к равенству
AF = -BP. (11)
Из уравнений (10) и (11) следует
В» = 0,
поэтому уравнение (9) сводится к уравнению
^v = 0. (12)
Если записать Af в явном виде с помощью тождества (5), то уравнение (12) можно записать следующим образом:
^Ca =Є\о+ t^ao + (13)
где
Ce^(-gyt'(-g) У'-Г««,. (14)
Умножая уравнение (13) на ^tn., находим
4 Ca = g%g?V + ZTriaa = -2(- g)-'/* (_ gyu + 2Гаг/а s - 2 Ca
(где для получения второго равенства мы воспользовались результатом задачи 21.1). Отсюда следует, что Ca = O. Если мы введем определение
= (15)
и умножим уравнение (13) на gj^xgyv, то получим
0 —^.о + Гхус + Г^, (16)
откуда
У (ffv^a+ffva.»-- gol, у) = TvXa, (17)
что и дает нам один из требующихся результатов.
Если вернуться теперь к уравнению (8) и воспользоваться результатами задачи 21.3, будем иметь
8{L*%-8)4l) = 6(Z"'C6g~g)'/2) 6^tlv = Y (-вУ* r"V =
(18) ГЛАВА 10
521
Отсюда заключаем, что
(16я)-» (R^ - y^vA)--Tliv = O,
или
Giiv = SnTiiv. (19)
б) Хотя символ F31HV (понимаемый теперь как символ Кристоффеля, образованный из gap) и не является тензором, 6TV есть тензор (см. задачу 8.26). Следовательно, мы можем упростить вычисление бRiiv, работая в локальной инерциальной системе отсчета, где символы Г обращаются в нуль. В этой системе уравнение (2) сводится к уравнению
OAHV = erv a - 6ГV V = 6Г%; e - 6PV v. (20)
Так как это тензорное уравнение, оно справедливо в любой системе координат. Так как Г суть символы Кристоффеля, g?V-a = = 0 и
(- grw ^Riiv = (- gY<> Kfftiv 6ГV); a - (бг Vffliv); v] =
= ((- gW 6TaHv),a - (6ГVfftiv (-ff)V0. V
[здесь мы для получения второго равенства воспользовались результатом задачи 7.7 (ж)). Поскольку это выражение есть полная дивергенция, оно не дает вклада в бS. Остающиеся в уравнениях (1) и (18) члены приводят к уравнению (19), как и в п. «а»].
