Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Если аа = 0, то goa,o = 0. и галактики движутся по геодезическим в том и только в том случае, если goi,o = 0.
ж) В задаче 7.23 мы показали, что Wap = O есть необходимое условие для того, чтобы семейство гиперповерхностей было ортогонально и. Поскольку и = д/дх, а гиперповерхности т = const «скреплены» (как перемычками) векторами д/дх', то из Ф О вытекает
{d/dt) ¦ (д/дх1) ф О,
и, следовательно,
8oi Ф 0.
Если
oa?.o^O,
(1) (2) 602
РЕШЕНИЯ
ТО И
gap, о TfcO.
а это означает в соответствии с п. «е» настоящей задачи, что галактики не движутся по геодезическим.
Решение 19.39. Из решения 14.9 мы знаем, что пространственный вектор I, связывающий две соседние мировые линии, подчиняется уравнению
VuI= V8U+ (I • а) и. (1)
Подставляя § = /?п в уравнение (1), получаем
Rna-, p«P + naR = RnHa, ? + RuWay, (2)
где R es dR/dt = UaRia. Если мы теперь скалярно умножим уравнение (2) на па, а затем воспользуемся уравнением разложения Для Uaifi (см. задачу 5.18):
"a; P = COap + Oap + у O (ga? + UaUfi) - OaUfi,
то получим
у ¦Ь (gap + UaUfi) — aaW?j + Ruanynaay. (3)
Далее, так как величина оар антисимметрична, а вектор па в уравнении (3) — пространственный единичный вектор (паиа = 0), имеем
Усреднение aa?rtart? по всем направлениям приводит к появлению члена, пропорционального следу ca?. Так как след aap равен нулю, окончательно получаем
Решение 19.40. Так
как и = во, имеем "a; ? = "a,p- Г*ар"у = 0 + Г°ар,
откуда
0 = Pgap = r°a?g«? = -(-?)-'/. [g°°(-g)'4a (1)
(см. п. «е» в задаче 7.7). Следовательно, для метрики Робертсона — Уокера ГЛАВА 19
903
Вращение равно нулю в силу симметрии символов Г°ар:
<ba? = v]
Для сдвига имеем OrOa = O,
0H = U1I./) - T ®ёи = — 4 (Sol./ + goІ. і - gl), о) - I" gij = = у gv, о= О-
Для анизотропной метрики уравнение (І) по-прежнему справедливо, так что
®a? = 0,
Oroa = О,
0U = у gi/. о - у %/ = у Agij,
где
2й — б — с для і = / = х, 26 — й — с для і = / = у, 2с — й — Ъ для і = / = 2.
Решение 19.41. Проще всего можно вычислить тензор Риччи для этой метрики, если воспользоваться формулами из задачи 9.33. Имеем
Ki/ = - у gij, (1)
O = Rtc = Ki/K" — К, (2)
O = RtI = K1ltl-К,], (3)
O = Ri/ = К'/К — Ki/, (4)
где точка означает производную d/dt. В уравнении (4) мы приравняли пространственные компоненты Rij нулю, так как 3-геометрия является плоской, а в уравнении (3) заменили ковариант-ные производные частными.
Сворачивая уравнение (4), получаем K = K2, откуда
K = -Mt, (5)
если соответствующим образом выбрать постоянную интегрирования. Подставляя решение (5) обратно в уравнение (4), получаем
Kij = -KiJti, 504
РЕШЕНИЯ
откуда
K1J=A1Jlt, (6)
где AiJ — некоторая постоянная матрица. Теперь выберем координаты таким образом, чтобы матрица Ki/ была диагональной в некоторый момент времени t = t0. Тогда, согласно уравнению (6), матрица Ki/ остается диагональной и ее можно записать в виде
K1l = -VjPjIt, (7;
где Pj = const. Чтобы это уравнение было совместно с уравнением (5), должно выполняться условие
(8)
і
Уравнение (3) удовлетворяется автоматически, а из уравнения (2) следует условие
E Pi=-I. (9)
і
Тогда уравнение (1) принимает вид
hi = - ZgimKmi = ZgijPlIt,
откуда вытекает
^ = V2p'-
Таким образом, окончательный вид метрики (называемой «метрикой Казнера») есть
ds2 = —dt2+t2P> dx2 + Pp> dy2 + t2p> dz2, (10)
где P1, P2 и P3 должны удовлетворять условиям (8) и (9). Объем этой Вселенной пропорционален t:
в отличие от радиационно-доминированной фридмановской Вселенной, где эта зависимость имеет вид t';\
Довольно удобно можно изобразить связи между P1, Pi и P3, налагаемые уравнениями (8) и (9), если начертить окружность радиусом 2/3 с центром в точке у = 1I3 и вписать в нее равносторонний треугольник. Тогда координаты у вершин треугольника будут удовлетворять уравнениям (8) и (9). Отсюда становится ясно, что значения двух параметров P лежат в интервале (0, 1), а значение третьего —в интервале (0, —Vg)- Вырожденный случай (1, 0, 0), как легко показать, соответствует плоскому пространству. Таким образом, пространство должно сжиматься вдоль одной из осей, одновременно расширяясь вдоль двух других. ГЛАВА |8
Решение 20.1. Заметим, что в данном случае «реальные» (приливные) гравитационные силы отсутствуют; свет распространяется по прямой в любой инерциальной системе, но в ускоренной системе, связанной с трубкой, его траектория кажется искривленной.
Рассмотрим две инерциальные системы —одну, сопутствующую трубке в тот момент, когда свет поступает в нее, и другую, сопутствующую трубке в тот момент, когда свет достигает ее конца.
Jf.
Начальная система S'
(р = 90° J
У
Конечная система S
Фиг. 37.
Поскольку длина трубки, измеряемая.в обеих системах, равна t, а угол отклонения Ь всегда мал, время распространения света по трубке с точки зрения наблюдателей в обеих системах равно {jc. В момент выхода света из трубки относительная скорость этих наблюдателей равна ?=g//c2 (по отношению к наблюдателю во второй системе первая система движется вверх со скоростью ?). Направляющие углы траекторий фотонов связаны между собой соотношением
