Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
[Щ = 8м(и'и,+ 1йT13V),
отсюда следует
[Ki,] = Ала
[/(/J-6/, [KV] = 8яо («/«,).
откуда, наконец, получаем
(К} + + КСГ) Uiul = 0. 526
РЕШЕНИЯ
Решение 21.11. Если т — собственное время, измеряемое наблюдателем, покоящимся относительно пыли, то движение оболочки описывается функцией г(т), где г — радиальная координата оболочки либо во внешней, либо во внутренней метрике. Метрику оболочки можно записать в виде
ds2 = — dx2 + R2 (т) (dfl2 + sin2 Ф гіф2).
Здесь AnR2 — площадь поверхности оболочки в момент времени т, откуда ясно, что R (х) = г(х). Из второго соотношения задачи 21.10 следует
о = *>- + OUilI = (ои% = (о (Wgyu Ui) ,/(Wg)V,.
Но их = 1 и (S)g = Ri (т), так что (OR2)1 т = 0. Отсюда вытекает, что величина AnR2O = р, которую мы отождествляем с массой покоя оболочки, является постоянной.
Чтобы найти уравнение движения, воспользуемся условием сшивки из задачи 21.10:
[/Cw] = 8яо + у < s>g<H> ) = Ano Wg^ =
Непосредственно находя Кші получаем
2
= — rift, о = яаГа<н> = — ~ nrgm> , = — тг,
откуда
[/Сот] — т (пг+ пг~) = р,
где пг+ и пг~ — значения радиальной компоненты нормали во внешней и внутренней геометрии.
Используя соотношения U-Il = OHn-Il = — U-U= 1, мы можем найти компоненты и и п. Вне оболочки имеем
1=(1-^)(^-(^/(1-^-),
О = UrUr + щи*,
1=-(1-^^).+(1-^)^.
Исключая Ut и щ, находим
На оболочке г = R(x) и иг = dR/dx==R, так что контравариант-ная компонента п вне оболочки имеет вид ГЛАВА 10
527
Вычисления пг~ абсолютно индентичны, а полученный ответ отличается лишь отсутствием члена с М. Таким образом, получаем уравнение
Ii = -R (л'+ - nr~) = -Я{[ 1 - Щ- + RiJ'/2 - [ 1 + Я8]'/.}. Решая его относительно М, приходим к уравнению движения
Если R = 0 при R = оо (случай падения на центр из состояния покоя на бесконечности), то M = р, и мы имеем
Это уравнение легко проинтегрировать и получить 4 _ W1 , 4A\V і і 4/?V/j 2
где мы приняли, что R = О соответствует момент времени T = O.
Решение 21.12. Чтобы найти мгновенную пространственную метрику, нам нужно лишь рассмотреть метрику и уравнения поля на пространственноподобной поверхности Коши S, являющейся поверхностью симметрии по времени. Шесть из десяти уравнений Эйнштейна определяют метрику вне 5 и нас здесь интересовать не будут. Остающиеся четыре уравнения представляют собой уравнения для начальных значений, и их можно переписать в виде [см. уравнения (6) и (7) из задачи 9.33]
}|8)A-{№)2 + {№ = 0, (la)
Kim\m-Kmm<t = 0, (16)
где {3)R — скаляр кривизны на поверхности S, Kim- внешняя кривизна, а вертикальная черточка означает ковариантное дифференцирование по отношению к 3-геометрии Wglj на поверхности 5; кроме того, мы использовали вакуумные уравнения для начальных значений.
В некоторый момент симметрии по времени времениподобная нормаль к 5, через которую выражается /С/у, сама меняет знак на минус при обращении времени. Следовательно, Kij = — Кц, и поэтому внешняя кривизна 5 должна быть равна нулю. Для случая Kij = O на 5 уравнение (16) удовлетворяется тождественно, а уравнение (Ia) принимает вид
<»>Д = 0.
(2) 528
РЕШЕНИЯ
Начнем с того, что выберем в качестве решения уравнения (2) «пробную функцию» вида
Sij = ФЧу (3)
и посмотрим, можно ли подобрать такое Ф, чтобы уравнение (2) удовлетворялось. Имеем
WR = gu (Tmlmj - TmiJ, т + TmllT1Jm - T1mlTmlj). (4)
Для пробной функции вида (3) символы Кристоффеля принимают вид
Tf. = 2Ф"1 (Ф,г0т, + (Djbml - Ф-тт]н), (5а)
g"Tmim.j = — 6Ф-в (УФ)2 + 6Ф~5У2Ф, (56)
SiiTmlJ, т = 2Ф 6 (УФ)2 - 2ф-5у2ф, (5в)
^7Гт«Г;.т = -4Ф-6(УФ)2, (5г) SiiT1mlTmtJ =(5д)
где мы ввели следующие обозначения:
(УФ)2 = ФЛФ,]Г\1>, (5е)
У2Ф == Ф^ 7г]'Л (5ж)
Если подставить значения . (5) в уравнение (4), то уравнение (2) сведется к уравнению
WR = о = вФ^У^, (6)
которое удовлетворяется любым решением уравнения Лапласа. Одно из таких решений есть
і
а соответствующая ему метрика имеет вид
(8)
2л<-.
С точностью до членов низшего порядка по М/г метрику (8) можно записать следующим образом:
п
она представляет собой «пост-ньютоновское» приближение к пространственной части метрики, генерируемой точечными массами Mi, расположенными в точках г,. Следовательно, метрика (8) действительно является мгновенной пространственной метрикой, соответствующей произвольному пространственному распределению конечного числа точечных масс в некоторый момент симметрии по времени. ГЛАВА 10
529
Решение 21.13. Заметам с самого начала, что квадрат Ua, являющийся лоренц-инвариантным, как раз и представляет собой определитель Uaa'. Следовательно, аналогом метрики Минковского будет являться система матриц, служащих для поднятия и опускания индексов при конструировании определителя Uaa':
6g det (Uab) = UfcUegEfeEdg,
где
Очевидно, что пара матриц є играет роль метрики Минковского.
Чтобы найти аналог преобразований Лоренца, обозначим матрицу такого преобразования через L:
UF'C' = LF'CC'UFC.
