Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае формула (97) примет вид
/(,,Г) = /(«, Г) {1 +1Г («, Г) I2a ' (98)
где 90 есть аргумент точки окружности |w| = l, соответствующей точке а —центру вариации. Из (98) непосредственно видно, что вариация функции f пропорциональна площади а и вблизи места вариации контура обратно пропорциональна расстоянию до места вариации.
Для граничной производной будем иметь
где ср0 и ср — аргументы точек окружности, соответствующих точке а и точке z — вариация производной пропорциональна площади о и обратно пропорциональна расстоянию рассматриваемой точки контура Г до места вариации.
62, Области, близкие к полуплоскости. Все изложенные выше предложения и формулы могут быть перенесены
Для возможности применения формулы (97) мы должны предположить малыми не только д, д', о", но также д*, Ъ*', что всегда имеет место, если исходный контур достаточно гладок, например, обладает дважды дифференцируемой кривизной.
8 Конформные отображения ИЗ
/(*, Г) »/[/(г, Г),у] =
(97)
и
f{z,ry = \f'(z,T)\ {-1-11^;^; j , (99) на случай конформного отображения на полуплоскость. Этот перенос можно осуществить или при помощи вспомогательно о конформного ,отображения круга на полупло- . скость, или непосредственно с помощью вариационных принципов п. 46.
. Приведём наиболее интересные из относящихся сюда формул.
Сохраним обозначения, принятые в п. 46, и допустим, что линия Г определяется уравнением
У = УІх)і
причём
\у{х) \ <6, I у' {х) |< 2, \у"{х)\< Є, Iim ху (х) = 0.
Прй этих условиях функция
<*>=--./(*, Г), /'(оо,Г) = 1
может быть представлена следующей приближённой формулой:
со
* = + (100)
-OO
Для функции F(w), обратной^функции /, имеем
F W і (100')
-OO
последняя формула справедлива для всех значений w,
Im W > 0, в частности, полагая w = u, мы получим соответствие между точками Г и оси а:
oo -OO
а также приближённое значение для производной
со
\F'(u)\*l-fyj^t)[uUt. (102)
-OO
Все приведённые формулы справедливы с точностью до малых высшею порядка сравнительно с а1).
1J Интегралы (101) и (102), а также (100) и (ЛОС) при действительных Z и w, надо понимать, как особые.
¦114 53. Области, близкие к полосе. Вполне аналогично, опираясь на вариационные принципы п. 34, легко получить приближённые формулы для конформної о отображения областей, близких к полосе 0 < у < 1, на полосу 0 < v < 1. Сохраняя обозначения, принятые в п. 34, допустим, что нам даны две линии Г0 и Г,
IV 2/ = 2/о(я)» I'? 2/= J/ (я),
где у0(х) и у(х) CjrTb однозначные формулы, причём
I г/о (^l < 0)1 < I у'о <
|г/(а)-1|<8, \if (*)|<3, \у°(х)\<2. При этих условиях функция
W — f{z, I10, Г), /(±оо, Г„ Г)=±оо
с точностью до малых второго порядка относительно s может быть определена следующей формулой:
oo
f(z, I',, = ye(*)oth^rff +
-OO
OO
+ і\ {і - у (t)} Clhz-=^ dt, (103)
-OO
а функция z==F(w)t обратная функции /,—формулой
oo
2 = F (W) = W - ^0 (0 Oth Ч^і dt -
-OO OO
- І 1- У Ctht^l=I=-' dt. (103')
-со
Последняя формула справедлива в замкнутей полосе О < v < 1, и, в частности, полагая W = и, мы получим соответствие точек оси и и линии Г0:
OO
* = y.Woth
-OO
OO
-SS S I1-S^ COJtb u=if Л. (104)
-OO
8* 115 Дифференцируя (103) и переходя к пределу при V —>0, найдём приближённое значение для производной
OO с»
- "-=1? <105)
Отметим ещё две формулы для случая, когда вариация носит локальный характер. Пусть г/о(#) = 0 во всех точках, кроме малого интервала с центром в точке а, и пусть
^y0(x)dx = o, у{х)= 1;
а
при этих условиях вне окреотности точки а будем иметь !/'(*,Г)|«і-' 1 3
' (106)
а на прямой у = 1
\f'(x + i,Y)\ = l 1 а
ch*^' (106')
Из формул (106), (106') мы видим, что в случае полосы -влияние местной вариации затухает, как е~г, где г — расстояние до места вариации.
Отмеченный закон имеет место не только для полос, близких к единичной полосе, но и для значительно более общего случая.
Теорема 11. Пусть границы I10: у — у0 (х) и Г: у = = У (х) области D (Г0, Г) удовлетворяют следующим условиям:
\<У{х)~Уь (я) <2,
І у'о (я) I < 1; і У' (я) I < 1; ІУІ (*) I < 1; 1 у" (*)|<1;
пусть Z0 — произвольная точка D (Г0, Г) и пусть Г0 и Г совпадают, соответственно, с Y0 иТ во всех точках, удалённых от Z0 не менее чем на г. При этих условиях
I /' (*., Г0, Г) - Г (z0, г„ Г)| < ^eJf , (107)
где к-—некоторая числовая постоянная. 116 Опираясь на вариационные принципы, нетрудно подсчитать, что если место вариации расположено от точки z на расстоянии, большем чем четырёхкратная максимальная ширина полосы, то вариация In | Fp (Zi Г0, Г) будет составлять менее 1%.
Из последней теоремы следует также возможность применения формулы (105) при условиях более широких, чем те, при которых она была выведена.
Теорема 12. Пусть границы F0 и Г удовлетворяют условию
шах Uy0(X);; у(х)\; у'0(х) ; у'(х)'] ' у*0 (х) \у"(х) |} <
где п —произвольное положительное число. Тогда в точке z0 = x0 + iy0 (х0)
