Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, с точностью до малых высших порядков
I/' (?., Y.,Y)-1|<
kjh^ 24тzk.
СО OD
' Г С- ^3 dt + С C-Sr J-hi4Tf J ch2?-
что окончательно даёт
If (5., Yo, Y)-l|<^.
где Л' — числовая постоянная. Но тогда из (Ul) найдём
Il?' (*о)Н ?о Ы < AffW*,
что после использования (110) даст нужную оценку для К.
2°. Все проделанные вычисления имеют силу, когда окружности C0 и C0 пересекаются. Остановимся теперь на случае, когда C0 и C0 не пересекаются (рис. 67). ^
В этом случае проведём через точку Z0 окружность С', ортогональную окружностям C0 и C0; пусть С есть дуга окружности С', расположенная в кольце/) (C0, C0 )вне областиD (T01 Г). Обозначим через А область, получаемую удалением из кольца D (C0, C0) дуги С. При помощи дробно-линейного преобразования и логарифма область А может быть конформно отображена (w--на прямоугольник О < и < 1, |и| < г так, что окружности C0 и C0 перейдут в отрезки прямых и = 0, и = 1, а С перейдёт в отрезки прямых и= ± г. Производя подсчёты,
¦121
Рис. 67.
с точностью до величины третьего порядка малости сравнительно с А, получим
Этим самым наша задача снова приводится к оценке разности I f (zf Г0, Г) I — I /' (z) I, что проделывается так же, как в подробно разобранном первом слу ае.
65. Дополнения. Приведём в заключение ряд дополнений к формулам (108), (108'). Эти дополнения или непосредственно вытекают из формул, или могут быть получены подсчётами, вполне аналогичными проделанным.
1°. Если в условиях теоремы 13 дополнительно допустить, что вторые производные кривизн A0 и к ограничены, то для остаточного члена R может быть дана следующая оценка:
\R\<AJi\ (112)
где число A1 зависит от ранее введённых постоянных и от верхних границ модулей вторых производных кривизн A0, А.
2°. Пусть линия Г0 совпадает с осью х, а линия Г :у = у(х) удовлетворяет следующим условиям:
kh < у (х) < Ch, I у' (х) I < A1AV2, у* (я) I < I у"' (X) j < Zc3AV2;
при этих условиях в любой точке Г имеем
IГ (z, T0, Г, h) I = Aj {1 + } уу»} + R; (ИЗ) RI < Ahbl\
где А зависит только от постоянных к, Zc1, A2, A3 и С.
ГЛАВА VI
НРИЛОЖЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
Изложенные выше элементы теории конформных отображений имеют многочисленные приложения к Еесьма разнообразным задачам, связанным с механикой сплошной среды.
Классические приложения теории конформных отображений почти исключительно базируются на построении и изучении конкретных конформных отображений, в связи с
¦122 чем многие отображения (луночки, многоугольные области, лучевые области и т. д.) были подробно изучены при решении соответствующих прикладных задач.
Наряду с втим за последние і оды Есё большую роль начинают і риобретать приложения к механическим задачам общих свойств конформных отображений и, в частности, і риложет;я вариационных принципов.
В данной главе ^ы приведём группу прикладных задач, решение которых сеодится к конформным отображениям, причём при изложении и выборе материала мы постараемся центр тяжести отнести к гоьросам, при решении которых существенную роль играют качественные теоремы теории конформных отображешй.
56. Идеальная жидкость и уравнения, определяющие её движение. Мы будем рассматривать плоскопараллельные течения жидкости — сущестьует плоскость П, пусть хоу, такая, что: 1) все частицы жидкости, лежащие в некоторый момент в плоскости П, во гсё ьремя движения, остаются в этой плоскости; 2) движенияю всех плоскостях, параллельных П, совпадают с движением в плоскости П.
Плоског,араллельное дгижение жидкости определено, если в любой момент времени t изгестно поле скоростей Y = \ (x,y,t) частиц жидкости.
Модель идеальной жидкости соотЕетстьует следующим условиям, налагаемым на поле У.
Пусть и = и(х, у, t), v = v (х, у, t) гроекции V на коор-динатнь е оси, собственно на ось х и ось у. Имеем:
1°. Условие несжимаемости
divV = - + = (114)
ах Oy N 7
2°. Условие отсутствия в жидкости вихрей rotv = ?-? = 0. (115)
Oy Ox 4 '
Из условий 1° и 2° непосредственно вытекает, что в случае идеальной жидкости UdxArVdy есть полный дифференциал, т. е. сущестьует функция <р(х, у, —потенциал скоростей —такая, что
с-х Oy
Из тех же условий следует, что потенциал 9 есть гармоническая функция X, у
fix** ду*
¦123 Пусть у) — функция, сопряжённая с <р, тогда из
(114), (115) и условий сопряжённости следует
дф с/ф
и=-x, v= — -ї . ду'
Заметим, что из условий сопряжённости потенциала <р и функции ф следует ортогональность grad 9 и grad ф, но в таком случае направление касательной к линии ф = = const совпадает с направлением grad 9 = У,то-есть линии ty = const суть траектории частиц жидкости— линии тока. По этой причине функция <]> называется функцией тока.
Из сопряжённых гармонических функций 9 и ^ мы можем составить аналитическую функцию комплексного переменного Z = XjrIy
W = ? + іф = /(2, t);
функция / называется комплексным потенциалом течения,
dw / .ч
— = / (Zjt)=U-IV
—комплексной скоростью.
Таким образом, всякому безвихревому течению идеальной жидкости в некоторой области D соответствует аналитическая в этой области функция —комплексный потенциал течения. Обратно, имея в D аналитическую функцию w = f(z, t), мы будем иметь в этой области движение идеальной жидкости с потенциалом скоростей 9 = Reel/. Кинема-тика движения идеальной жидкости полностью описывается аналитическими функциями.
