Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Если контуры звёздны относительно Z = 0, то в точках Z2 и Z2 наибольшей (относительно Z = 0) деформации
\F' (Z27Ir)K IF' (z2, Г) ;.Х.
Знаки равенства достигаются только при совпадении Г и Г.
Доказательство. Может быть проведено так же,как доказательство теоремы 4, если воспользоваться вместо (58) отображением внешности единичного круга с выкинутой из неё луночкой на внешность круга. Проще всего получить теорему 6, редуцируя её к теореме 4 при помощи замены переменных
а і
Z — Z0 = -тг, W = — .
0C О)
46. Случай полуплоскости. Пусть линия Г проходит через бесконечно удалённую точку и обладает в бесконечности касательной и конечной кривизной1); тогда окружность IZI = B при R достаточно большом будет пересекать Г в двух точках с аргументами, разность которых будет сколь угодно близка к тс.
Предположим ещё, что положительная мнимая полуось в СЕоей достаточно удалённой части не пересекается с Г, и обозначим D(Y) область с іраницей Г, содержащую эту часть, через
<у = /(г,Р, /(со,D = oo, |/'(oo,DI = i;
х) Это означает, что линия Г', получаемая И8 Г преобразованием С =S-A. ^ обладает в точке ? = 0 касательной и конечной кри-
Z
вивной.
7* 99 условимся обозначать функцию, реализующую конформное отображение области D(Y) на верхнюю полуплоскость u>0. Согласно теореме существования, в условиях, наложенных на Г, функция / существует и определяется с точностью до действительной постоянной—-если /0 одна из наших функций, то все остальные найдутся по формуле
/ = /о + С,
V -V-const
O" "
Рис. 61.
где С — произвольное действительное число. Так как в дальнейшем число С не играет роли, то мы под / будем понимать любую из таких функций.
Пусть, наконец, Yv есть линия, переходящая при отображении w = / (г,Г), W = f(z, г)впРямУюу = const (рис, 61).
При этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема 7. Пусть Г проходит через точку оо и имеет там общую касательную с Г. Если, кроме того, область D(Y) содержится в области D (Г), то: 1°. Каково бы ни было число V, и>0, область D(^v) содержится в области D (yv); соприкосновение у« с Yv для какого-нибудь v возможно только при совпадении Г и Г. 2°. Если Г и Г имеют общую правильную точку Z09 то в этой
точке
Г (*.,г)|<|/'(*.,г)1>
причём знак равенства достигается лишь при совпадении YuY (рис. 61).
Доказательство. В силу со обр ажений, приведённых при доказательстве теоремы 4, достаточно рассмотреть случай, когда Г совпадает с осью х; а Г отличается от Г на бесконечно малом участке (а —є;а-}-є); на котором Г есть дуга окружности малой кривизны. Но в этом случае
f(z,Y) = z,
а согласно (56), п. 41
+ (80)
100 Отсюда для функции, обратной (80), получим
(80')
7u W— а 4
Полагая в (80') w = u + iv и отделяя в ней действительную и мнимую части, при фиксированном v получим параметрические уравнения линии ^v
Tt [и— a)2 + V2
ти (и — а)2 -{-V2
(81)
Из последнего вкражения следует, что Yu принадлежит области 2/>и, то-есть области D(^v), этим доказана первая часть теоремы.
Для доказательства второй части Еозьмём произвольную точку оси X, далёкую от а сравнительно с а, и найдём в этой точке производную /'; имеем
г (XtV)* 1-±_1_<1. (82)
Этим полностью доказывается наша теорема.
47. Случай полос. Пусть Г0 и Г —две дуги, не имеющие общих точек, кроме сеоих концов CL1, а2. При этом мы не исключаем случаев, когда одна из точек а или обе точки совпадают с точкой z^= оо. Обозначим через D(T09T) область, ограниченную линиями Г0 и Г, а через
w = f(z, Г0, Г), / К, Г0, Г) = -оо, / (а2, T0, Г) = + оо
— функцию, реализующую конформное отображение области Z> (Г05 Г) на полосу О < v < 1. Так же, как и функция f(z,T) предыдущего номера, функция f(z, Г0,Г) будет определейа с точностью до действительного слагаемого, которое пока нас интересовать не будет. Через ^v, ^v мы будем обозначать линии области D (T0, T), D(T09T), переходящие при отображении f(z,T0,T), f(z,T0,T) в прямую V = const, О < V < 1.
Установим следующую теорему. __
T е а р е м а 8. Если область D (I10, Г) содержится в области D (T0, Г), то: 1°. При любом v (0 < v < 1) область
dOl D (yv, Г) содержится в области D (у„,Г), причём ^прикосновение yv и Yv возможно только при совпадении D(Y0fV) с jD (I10, Г). 2°. В любой точке Z0 линии Г
/'(«•, I7Oi Г) \>\Г (zOi Г0, Г)
3°. Если линии I10 и Г0 имеют общую точку Z1, то в этой точке
\f'(zltV0,V)\< /' (Zj, Г0, Г)|.
В обоих случаях знаки равенства могут достигаться только при совпадении линий 1'0 и Г0 (рис. 62).
Доказательство. Как и в ранее разобранных случаях, доказательстю л ожно провести, гредполагая D (Y0, Г) единичной^ полосой 0<2/<1 (Г0—осью ж, а Г —прямой 2/ = 1), а Г0 —соїпадающей с Г0 гсюду, кроме малого участка I х- а |< є. В втом гредюложении теорему 8 проще ЕСЄГО доказать, редуцируя её к предыдущей с помощью замены переменных
я 4
Z=-InC, W=-Ina). TT п
Допустим ещё, что уравнения линий I10 и Г заданы однозначными функциями
Г0: У = Г: У = У(Х)
