Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
4° в точке наибольшей д ефо рм а ции р а стяж ение увеличивается более чем в X раз.
Доказательство. Заметим, прежде есєго, что теорему достаточно доказать для случая, когда Г отличается от Г только на бесконечно малом участке (a,?) и когда часть Г, отличная от Г, есть дуга окружности кривизны, близкой к кривизне Г на (а, ?) —
область D(Y) получается удалением из 'области D\Y) бесконечно малой площадки с, ограниченной (a,?) и дугой Г (рис. 58). В самом деле, любую вариацию Г можно получить, последовательно производя описанную простей-
Рис. 58.
1J Заключение теоремы сохраняет силу, если условие звёздности заменить следующим: пусть zz и I2 точки Г и Г, осуществляющие абсолютный максимум разности модулей точек Г и Г, обладающих одинаковыми аргументами, тогда при подобном растяжении области
D (Г) в отношении — новая область целиком содержится в об-
Z2
ласти D{Г).
¦95 шую вариацию; если теорема доказана для каждой простейшей вариации, она тем самым будет доказана для произвольной.
Введём теперь вспомогательную плоскость С и отобразим конформн область Z> (F) на единичный круг |С,<1.
С = / (г, Г), /(Z01T) = O.
Пусть при этом дуга Г переходит в дугу Г', а дуга а ? в дугу окружности a'?'. Площадку, ограниченную a'?' и Г' обозначим через с' (рис.*58). Отобразим конформно область Z) (1") на единичный круг |w|<l плоскости w\
* = 8(0) = 0.
Пусть ісри этом отображении окружность \w\ = r соответствует линии Y^. Очевидно
w = f{z, Y) = *[/(*, Г)].
Следовательно, при отображении w = f(z, Г) область D(^r) переходит в а D(^r)-в ?|<г; следовательно, для
доказательства I0 достаточно показать, что содержится в круге 1?|<г. Но дугу Г' с точностью до малых высших порядков можно считать за дугу окружности, площадку а' —за круговую луночку и тогда принять в качестве g отображение (58) п. 41. Имеем
(77)
где 0 есіь аргумент точки площадки с'. Из (77) нетрудно получить уравнение линии Yr- Для этой цели перепишем его в виде
LtS^Xi
1 27: 1 — {е )
пользуясь тем, что о' мало, а w отличается от С на величину порядка с', мы можем, не меняя порядка точности, заменить С через w в членах, содержащих множитель а', и получъть, таким образом, отображение, обратное g:
¦96 (78)
Положим
С=ре*ф, W = re*?. Логарифмируя (77), получим
^v ' 2гЛ—we
откуда
_ Ґ л __1 —Г2_Л
P""rV 2тг 1 — 2rcos(cp — o)-f-r2 у' . _ 2r sin (ср — Q)
1 — 2rcos (ср— 0) + г2 '
Формулы (78) дают искомое параметрическое представление Yr. G их помощью легко получаем все утверждения теоремы 4. Прежде всего, для точек Yr«
І Ч<'0-иї0<'. <79>
что полностью доказывает пункт 1°. Деля (79) на г и устремляя г—> О, получим V ^
т. f g' (0) j > 1, что доказывает 2°. vc^
Далее, из того же неравенства (79) по- Л
лучаем
і—і — Lzl < 1 — aIiizI Рис. 59.
1—р і —р ^ 4тс 1 —р'
J _ J. Qf
откуда JZ^ ^ ^ ~~ ^ti п для всех . точек окружности CJ = I5 расположенных вне (a'?'),
Этим доказан пункт 3°. Остановимся на доказательстве последнего утверждения. Обозначим Г' контур, который получается из Г преобразованием подобия С —Z0 = X (z — z0); очевидно
«* = /(*o + 4*-*J; Г) =/(«,Г)
даёт конформное отображение 2) (Г) на единичный круг (рис. 59). G другой стороны, по условиям теоремы /)(Г) содержится в области D (Г), а Г и Г имеют общую
7 Конформные отображения 97 точку z2; следовательно, по о°
1/'&.Г)|>1/' (Z21Y)I = Ilff (z„ Г)!.
Теорема 4 полностью доказана. Остановимся на простом следствии теоремы 4. Теорема 5 (принцип Монтеля). Пусть области D (Г) иD (Г) содержат точку Z0 и пусть T состоит из дуг ухи Y2 таких, что содержится в D(Y)1 а у2 лежит вне D(Y) и Yi лежит вне D(Y)j а у2 содержится в D(Y) (рис. 60). Пусть, кроме того, отображения
W = / (z,Y)1w = f (z,T)
преобразуют дуги ^1U у15 соответственно, <? дуги единичной окружности длин ухи /7/?и наших условиях всегда Рис. 60. _
причём знак равенства достигается лишь при совпадении Г и Г.
Для доказательства введём вспомогательную область D (Г) с границей Г = Уі + їг; тогда .D(F) принадлежит D(T) (рис. 60).
Пусть при отображении
W = f (Z1Y), /(z0, Г) = 0
дуга Y2 переходит в дугу длины <р2. Области D(F) и D (Г) удовлетворяют условиям теоремы 4, следовательно в силу п. 3° этой теоремы имеем
G другой стороны, сравнивая отображения областей D(F) и D(Y)1 в силу того же получим
Складывая почленно последние два неравенства, мы получим искомое.
45. Внешняя задача. Обозначим через Д(Г) область внешнюю к линии Г и пусть функция
W = F(Z1Y)t F(Oo1Y)= оо
¦98 даёт конформное отображение области Д(Г) на внешность единичного круга |W|>1. Сохраняя обозначения, принятые выше, мы можем формулировать следующую теорему.
Теорема 6. В условиях теоремы 4: 1°. При любом r(0< r< 1) область A(Yr) содержит область A(Yr); соприкосновение уг и Yr для какого-нибудь г возможно только при совпадении Г и Г. 2°. В бесконечно удаленной точке
I F'(°0, Г) |< IF'(СО, Г) |.
3°. В точке Z1, общей контурам Г и Г',
(ZlfT)I^ |F'(*Х,Г)|.
