Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
O(C)-F (С)]
будет потенциалом течения жидкости в полосе 0 < Y) < Q.
Наш вопрос сводится к вопросу единственности течения жидкости в полосе 0 < Y) < Q с заданным расходом Q.
¦127 Рассмотрим потенциал
— Tt
* + Ce Q ,
где С —произвольная действительная постоянная, а п — целое число.
Нетрудно убедиться, что построенный потенциал при любых С и п даёт течение жидкости в полосе 0 < у < Q с расходом Q. Таким образом, форма полосы и расход ещё не определяют движения жидкости.
Приведём одно, наиболее часто встречающееся в практике, дополнительное условие, при соблюдении которого движение становится единственным. Допустим, что линии Г0 и Г обладают дифференцируемой кривизной и что ширина полосы, когда Z —>оо, остаётся ограниченной сверху и снизу так же, как кривизны линий Г0 и Г и их производные.
Тогда движение жидкости в полосе D (Г0, Г) с заданным расходом Q при условии, что скорость течения остаётся ограниченной при z—>00, единственно.
В самом деле, совершая описанную выше редукцию к случаю полосы О < < Q1 рассмотрим функцию Ф(?). Согласно УСЛОВИЮ обтекаНИЯ ВДОЛЬ ПрЯМЫХ 1Г) = 0, r\ = Q
1тФ'(с,) = 0.
Отсюда, применяя принцип симметрии Шварца, мы получим, что Ф'(?) правильна во всей С-плоскости; кроме того, в силу теоремы 13 п. 54 и условия ограниченности скорости
(z)\ функция Ф'(С) будет ограничена по модулю, но тогда согласно теореме Лиувилля
Ф' (?) = a = const.
Используя теперь условие обтекания и задание расхода Q, мы убедимся, что а = 1, то-есть
ф (T) = z + c.
Наше утверждение полностью доказано.
Перейдём ко второй формулированной задаче. Допустим, что линия Г в бесконечно удалённой точке обладает касательной и конечной кривизной. Требуется построить в области D(V) поток идеальной жидкости, обтекающий линию Г и обладающий в бесконечности заданной по величине комплексной скоростью Fco. Этими свойствами обладает поток
¦128 с потенциалом
у^f (г, Г),
где согласно принятым выше обозначениям w = / (z, Г), есть функция, реализующая конфоруное отображение области D(Г) на верхнюю полуплоскость, при условиях / (оо, Г) =? оо и |/'(oofr)| = l.
Рассуждая так же, как и в слу*ае полос, легко убедиться в том, что построенное течение единственно.
Рассмотрение третьей задачи мы начнём с частного случая, когда Г *есть единичная окружность |z| = l.
59. Обтекание круга. Будем искать поток идеальной жидкости в области |zj>l, обтекающий KpyrjIzI = I и обладающий в бесконечности скоростью, равной по величине единице и направленной в положительную сторону ОСИ X.
Наложим на поток дополнительное требоьание, чтобы он был симметричен относительно оси х\ тогда отрезки ( — оо, — 1) и (1, + OO) будут принадлежать Рис. 72. линии тока (рис. 72). В этом случае искомый поток будет обтекать контур Г, составленный из отрезков ( —оо, — 1), (1, + оо) и полуокружности |z| = l, О < arg Z < тс. Комплексным потенциалом такого j потока является функция /(ztГ), дающая конформное отображение области ?>(Г) на верхнюю полуплоскость. Согласно п. 40, 4°,
/(*,Г) = * + 7 .
Наряду с построенным симметричным потоком обтекание круга даёт lotok вихря с произвольной интенсивностью Г, расположенного в точке z = 0. Так как скорость потока вихря в бесконечности равна нулю, то поток, определяемый потенциалом
/(z) = z+l + glnz, (122)
обтекает единичную окружность и обладает в бесконечности заданной скоростью
Про анализируем*поток, определяемый потенциалом (122). В дальнейших приложениях нас будет интересовать случай
О > Г > — 4тс,
рассмотрением которого мы и ограничимся. Абсолютная
9 Конформные отображения
129 велйчйна скорости iiototta равна
!/'Wl = I1-^SfI
При |zl > 1 эта величина положительна; найдём точки единичной окружности, в которых | /' (z) | « 0. Положим z ** е<3, & тогда 1
\f'(e»)\ = \2smb+l\; (123)
следовательно, искомыми точками будут
S1= —arcsin ^ , Qa = ^-Q1
и циркуляция
Г = 4tcsin S1= — 4тг sin 0а. (124)
Линия тока, приходящая из точки оо в то^ку еіді, в этой точке расцепляется на деє —одна обходит нижнюю, другая — Еерхнюю дугу единичной окружности (рис. 73).
Обе линии соединяются В TOtKe егЧ Точку е{>1 назовём точкой разьетЕле-ния потока, точку eiJ2 — тонкой схода.
При Г = О точки разьетвления к схода суть точки —1, +1; при nospa-стании Г эти точки опускаются и при
Рис. 73. -г«
Г = 4тс сливаются в точку е 2 .
Построенное нами решение (122) зависит от одного действительного параметра Г, которь й согласно (124) определяется единственным образом, если дополнительно задать точку разветвления или точку схода потока.
Исполь8уя теорему единственности (теорема Лиувилля), можно показать, что (122) исчерпывает все решения задачи.
60. Обтекание произвольного профиля. Опираясь на решение задачи обтекания круга, нетрудно дать полное решение следующей задачи: пусть дан гладкий или кусочно-гладкий контур Г с фиксированной точкой а; требуется вне Г nQCTроить гиоток, обтекающий Г и такой, что: 1е) комплексная скорость потока в бесконечности равна Vp00; 2°) точкой схода потока является точка а.
