Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для решения прикладных вопросов наряду с полем скоростей необходимо знать распределение давлений. Если написать динамические уравнения для движения бесконечно малого объёма жидкости и сопоставить эти уравнения с (114), (115), то нетрудно получить связь между давлением плотностью жидкости P и полем /' (z,t) (уравнение Бернулли)
P = C\г (z, Ol2-P ft, (Ив)
где С*— постоянная.
В дальнейшем мы будем иметь дело с двумя частными случаями движения идеальной жидкости.
1°. Установившееся движение, когда поле ско-
д<о ~
ростей не зависит от времени t. В этом случае =0, и
¦124 уравнение Бернулли имеет вид
Р = С-\ \Г (Z);2
(117)
2°. Удар, мгновенное изменение поля скоростей под действием импульсивных сил. Обозначим <р0 и /о начальные потенциалы, а через <р и / потенциалы в момент, следующий за ударом. Если считать, что до удара и после удара /, /' и <р остаются конечными, то после интеграции по бесконечно малому промежутку времени удара получим
P = C- р (9-у,),
(118)
і де P — импульсивное давление в данной точке, а С — постоянная.
57. Примеры движений. Рассмотрим несколько примеров движений, комплексным потенциалом которых являются простейшие аналитические функции. -*
1°. Поступательное движе- * ни е. Линейная функция __*_
/ (z) = az = (а + гф) ъ
(119)
Рис. 68.
является комплексным потенциалом поступательного движения жидкости (рис. 68) —поле скоростей постоянно
и = а, V = — (3.
Источник. Рассмотрим функ-
2°. цию
f(z) = ^ In(S-H)l
(120)
Z-
Рис. 69.
где д —действительное число. Эта функция определяет движение идеальной жидкости всюду вне точки Z = а. Линии тока
arg (z — a) = const
суть лучи, выходящие из точки а (рис. 69).
Величина скорости потока | /' (z) | на расстоянии г от точки а равна
V — \V — 2n\z — a\ 2тсг "
125 Следовательно, в единицу времени через окружность — a I = г протекает количество жидкости, равное
В соответствии с этим поток, определяемый потенциалом (120), носит название потока с источником в точке а, число q называется интенсивностью источника. При q > 0 жидкость вытекает из круга | z — а | < г, при q < 0 жидкость Етекает в тот же круг.
3\ Вихрь. Рассмотрим функцию
f(z) = ^\n(z-a), (121)
где Г-—действительное число. Эта функция, как и (120), определяет движение идеальной жидкости всюду вне точки Z = а. Линии тока
I z — a I =r const
г> суть окружности с центром в точке j z—a j —const.
Скорость потока в точке z = z — a = = rei(? равна
и направлена по касательной к окружности, следовательно, циркуляция поля скоростей вокруг то^ки а равна Г. Такой поток называется потоком вихря, число Г—интенсивностью вихря или циркуляцией потока около а. Частицы жидкости описывают около точки а окружности, двигаясь против часовой стрелки при Г>0 и по часовой стрелке при Г < 0 (рис. 70).
58. Три задачи на обтекание. 0,пну из центральных групп задач іеории идеальной жидкости составляют задачи построения потока, обтекающего данную линию или данное тело. Сформулируем более точно три основные относящиеся сюда задачи.
1°. Пусть даны две линии Г0 и Г, имеющие общими только свои к'онцы, расположенные в точке Z = оо. В области 2)(Г0,Г) требуется построить безвихревой поток идеальной жидкости, обтекающий I10 и Г; условие обтекания эквивалентно условию, чтобы линии Г„ и Г являлись линиями тока или, что то же самое, чтобы в каждой точке Г0 (Г}Г скорость потока была направлена по касательной к (Г).
¦126 2°. Дана линияТ, содержащая бесконечно удалённую точку в области D (Г); требуется построить поток, обтекающий Г.
3°. Дана замкнутая линия Г; в области D(Y), внешней к Г, требуется построить поток, обтекающий Г.
Остановимся подробнее на первой задаче. Разрежем полосу D дугой у, соединяющей точку а0 линии Г0 с точкой а линии Г (рис. 71). В силу несжимаемости жидкости количество жидкости, протекающей через Y в единицу времени, не зависит от у и есть постоянная величина Q, которую мы будем называть расходом потока в полосе Dt
Расход Q просто выразить через функцию тока <J>. В самом деле, сошасно определению Q имеем
Q = ^ udy-vdx= ^ dJ^dx+ ^dy = ^ (*,$)- <>(a0,?e),
T Y
то-есть расход равен приращению функции тока при переходе от линии Г0 к линии Г.
Отсюда следует, что если поток имеет расход Q1 то мнимая часть комплексною потенциала / (z)? то-есть <]>, должна быть постоянной на Г0 и на Г, причём разность её значений на Г0 и Г равна Q.
Указанными свойствами обладает функция /(z, I10, Г, Q), реализующая конформное отображение 2)(Г0,Г) на полосу О < ф < Q при условии соответствия бесконечно удалённых точек. Ссылаясь на теорему существования конформных отображений п. 20, мы можем утверждать, что, каковы бы ни были линии Г0 и Г, существует поток с произвольно заданным расходом Q, обтекающий эти линии.
Будет ли при заданном Q течение жидкости определяться единственным образом, т. е. будет ли комплексный потенциал любого потока, обтекающего Г0 и Г с данным расходом, отличаться от /(z,T0, Г, Q) только на постоянную? Пусть F (z) — комплексный потенциал любого такого потока и пусть z = 9 (С)— функция, обратная функции C= f(zt Г0, Г, Q); тогда, очевидно, функция
