Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Отобразим конформно
C = F(ZvT), F(oo,r) = oo, F'(oo, Г) > О (125) ^ внешность контура Г на внешность единичного круга
¦180 |С[> 1; пусть при этом точке а2 = а соответствует некоторая точка е<9а единичной окружности. При таком отображении искомый поток перейдёт в поток, обтекающий единичный круг |С| <1 с точкой схода в точке eiJa. Таким образом, , для разрешимости поставленной задачи необходимо, чтобы
|в.Мв.(«)1<-?-
Если это условие выполнено, то потенциалом искомого течения будет функция
/ (Z) = FI^F1 0 + f - 2*' sin е» Ь с) j С = F (Z, Г). (126)
Пусть при отображении (125) точке 2 контура Г отвечает точка ei} окружности |?| = 1
е* = F (Z9T)i
тогда в силу (123) для абсолютной -^величины скорости потока в произвольной точке Г получим выражение
I V I = I F' (ооТг)] I Sin 6 - Sin'6a 1 F' (Z' Г) I' (127)
r Проанализируем поведение V на Г. Обозначим через ах точку разьетвления потока
еіві^ег (w-ад ef(flij Г).
В выражении (127) множитель | sin 6 — sin Є21 имеет нули первого порядка в точках еіві и eioa, множитель \?' | конечен EO всех правильных точках Г, а ьблизи угловых точек имеет структуру
F' (2о, Г) I = с (С- Сс)1_^{1 + а, (С - C0) + а9 (С- C0)2 + ...} С = F{г, Iі), C0 = F (z0, Г)
(см. п. 35).
Следовательно, во всех угловых точках Г, отличных от ах и а2, скорость V обращается в нуль или в бесконечность. Если же ?a(oi) совпадает с угловой точкой, то в этой точке V может обращаться в нуль или оставаться конечной (случай, когда а% есть точка возврата, а = 2тс 4 j Ft I имеет в этой точке бесконечность первого порядка относительно IС — C0I, а первый множитель — нуль первого порядка).
$* 131 Заметим ещё. что бдоль Ci1Aatl (рис. 74) частицы жидкости движутся в направлении положительного обхода Г, а вдоль при U1Ba2-B направлении противоположном.
Особый интерес гредставляют контуры с одной угловой. тонкой (рис. 75), обладающей максимальной абсциссой " (крыло самолёта).
Как показьвают опыты, при обтекании таких контуров реальными жидкостями уїловая точка всегда является точ-
Рис. 75
Рис. 76.
кой схода потока. Этот важный факт, который можно объяснить влиянием вязкости жидкости и юзникающим вследствие вязкости вихреобразоЕанием, мы примем в качестве требования, налагаемого на поток.
Постулат Чаплыгина. Из потоков (126), обтекающих контур с угловой точкой а2, следует брать тот, для которого а2 является точкой схода.
С помощью постулата Чаплыгина поток, обтекающий контур, определяется единственным образом. Вдоль контура скорость V такого потока всюду конечна, в точках G1 и а2 скорость обращается в нуль (если а2 не есть точка возврата, р случае то1ки возврата абсолютная величина скорости в а2 положительна).
Приведём качественную картину распределения скоростей V в различных точках контура (рис. 76).
61. Примеры профилей крыльев. Подставляя в (125) вместо функции F различные функции гл. IV, реализующие конформные отображения внешности контуров на внешность единичного круга, мы получим течения, обтекающие соответствующие профили.
Заметим, что повороту профиля на угол а (изменение угла атаки) соответствуют следующие изменения в комплексном потенциале:
f* = F^T) О'+ І * 218ІП (6* + а) ln О ' С = F {eiaz)-
62. Подъёмная сила. Зная поле скоростей потока, по формуле Бернулли можно определить давление в каждой
¦132 точке потока и давление на обтекаемом контуре Г, Суммируя давления на контур, можно получить равнодействующую P сил давления потока на контур. Обозначим через А и В компоненты P по координатным осям, а через р — давление в точке z контура Г. Имеем (рис. 77)
А + iB = ^ р (sin ос — і cos a)d$,
где ds-— элемент ду*и Г, а а— угол, образоганный касательной к Г с осью х. Подставляя гместо р его выражение IO формуле Бернулли и пользуясь тем, что на кон-туре /' (z) = , /' (z) I еи, получим *
А + ІВ= -і \ Ic - у I /' (*)i2 j e~**ds = г
T г
Так как /'2(z) — функция травильная енє контура Г, то в юследнем интеграле понтур Г можно заменить окружностью С сколь угодно большого радиуса. По формуле (126) имеем
''W-FSTTiC I-^-jiTlOii. <128>
и, следовательно, вне С Г (г) dz =
Ґ ¦ sin б2 , a2 N\ 77/ / та . bo , Л 7f
• ? - +§3+ ••• ) 1^F'(со, + +
=І.
F'2 loo, DV
Таким образом,
А+іВ-
где положено
5 ?-
^pFg0 sin Q2
Ff (оо, Г)
|С| = Д>1
4rcpF® sin Q9
= --Plfr-W. (12°)
4TUF-. sin (
P _ _ ^reo SlU о, м<злч
i^" >(оо,Г) \ (lo())
Пользуясь (128), легко выяснить механический смысл Г: Г равна циркуляции скорости около крыла.
¦133 Формула (129) составляет теорему Жуковского о подъёмной силе крыла аэроплана:
Равнодействующая сил давления потока на обтекаемый контур перпендикулярна к скорости потока в бесконечности и по величине равна произведению плотности среды, абсолютной величины скорости потока в бесконечности и циркуляции скорости около крыла.
63. Вариация скорости. Модель идеальной жидкости даёт перюе приближение гри описании движения реальной жидкости или газа. При у^те еязкости, сжимаемости и т. д. наряду с полезной подъёмной силой появляются Ередные сопротивления, неравномерности потока и т. п., причём оказывается, что отмеченные факторы в значительной мере зависят от характера распределения скорости потока вдоль крыла. В соответствии с этим, в проблеме улучшения качества крыла приобретает большое значение получение простых способов пересчёта распределения скорости при переходе от данного профиля Г к близкому профилю Г. Мы приходим, таким образом, к задаче: определить гариацию скорости в зависимости от гариации контура Г.
