Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
такими, что
]Уо(х)\<к, \у'(х)\<к.
В этих услогиях теорему 8 можно несколько дополнить. Рассмотрим пучок параллельных прямых L: х = Xy + р.,
І XI < у, каждая из которых пересекает Г0, Г0 и Г не более чем в одной точке. Точку Z2 контура Г0, в которой отрезок прямой Lx, заключённый между Г0 и Г0, достигает наибольшего значения, и соответствующую точку Z2 кон-
тура Г0 будем назь_Еать точками наибольшей (в направлении X) деформации. Тогда в наших условиях имеет место ещё предложение;
¦102
I ° /
U=COnsT
0
Рис. 62. 4°. В точках наибольшей деформации
\f'(z~T„T)\>\r (Z25T0, Г) |.
Доказательство. Обозначим, соответственно, Г0 и Г линии, получаемые из F0 и Г поступательным сдвигом на отрегок z2 Z2 (рис. 6?); очевидно _____/
^ = /(3 + ?-?, r0,r) = /(z, T0, Г) ^^АГ^Г^^
даёт отображение D (Г0,Г) на полосу 1г r° ^ 0<и<1. G другой стороны, по услс- Рис 63 виям теоремы .D(FoyF) содержит область
¦Я(Г0>Г)» а и имеет общую точку Z2, следовательно, по пункту Зи теоремы 8
IГ [Zi1V09 Г)і < 7'(?,Г0,Г)|.
Но поскольку D (Г0, Г) содержится в D (T0, Г), то по пункту 2° той же теоремы
I/'&, Г0, Г)|<| Г (Z2, Г0, Г),
а так как |/'(z2, Г0, f)| = |/'(z2> Г0, Г)|, то теорема 8 полностью доказана.
48. Граничные производные. Установленные выше вариационные принципы допускают различные количественные уточнения. Прежде чем переходить к ним, отметим одно простое приложение принципов к оценкам граничной производной. Вернёмся к случаю отображений односвязных областей D (T) на единичный круг w|<4 при условии, что некоторая фиксированная их точка переходит в центр круга w = 0.
Пусть Z1 — произвольная правильная точка Г; проведём через точку Z1 два замкнутых контура T1 и Г2, касающихся Г в точке Z1 и такие, что область Jb(I11) содержит точку Z0 и содержится в области І)(Г), а область D(T2) содержит область D (Г). В силу теоремы 4 будем иметь
/'(Z1, Г1)[<|/'(г1,Г>;<|/'(г1, Г2)|.
Если за D(T1) и D(T2) принять области, отображаемые на единичный круг с помощью известных функций, то по-
¦103 лученные неравенства дадут конкретные числовые оцейки сверху и снизу для !/'(z1, Г)|.
Применим это общее соображение к оценке /' (z, Г) | для случая, ко да Г близка к едини^ ной окружности.
Теорема 9. Пусть линия Г удовлетворяет следующим условиям:
1°. Г принадлежит кольцу 1 —є z|<l + e. 2°. Углы между касательной к T и касательной к окружности | z | = 1 t> точках с одинаковым аргументом не больше и. 3°. Кривизна к линии Г отличается от 1 не больше, чемна S1.
При этих условиях для граничной производной функции w = f(z, Г), /(О, Г) = 0, реализующей отображение ?(Г) на единичный круг, имеем оценки
і—2е S1 < ^з1-;.^ < /'(*, г) <
+ а + + (83)
з которых р — малая второго порядка по сравнению с є, «і, P-
Доказательство. Для получения искомых оценок достаточно воспользоваться описанным выше общим приёмом, принимая за T1 окружность кривизны 1 + е2, а за Г2— окружность кривизны 1 —ех.
Приведём, как пример, подробную выкладку.
Оценим модуль ^ для произвольной
точки M границы Г. Рис. 64. Пусть точку M изображает число Z = ре**.
Проведём через M окружность С (рис. 64) і
радиуса R = ^jm ? которая содержит внутри себя точку
Z = On касается крйвой Г в точке М. Не нарушая общности доказательства, можно считать, что точка M соответствует точке W=-I w-плоскости, тогда
I ^w I 1
I dz IZsspe^- I dz
dw
W=-I
Рассмотрим функцию z = F (w), реализующую конформное отображение круга |w|<l на круг С такое, что точка W = 0 переходит в точку z —0, а точка W= — 1 в точку М.
¦104 Так как круг С принадлежит D, то в силу вариационного принципа (теорема 4) имеем
I dz I I dF j
I dw W= -і! dw
Подсчёт I Fr (— 1) I значительно упрощает следующее элементарное свойство отображений круга | | < 1 на круг С, Фиксируем точку W0 окружности |cv| = l, её образ — точку Z0 окружности С и растяжение | Ff (w0) | = A. Этпми условиями определяется семейство отображений, зависящее от одного действительного параметра. Можно показать, что образ любой точки W1 из круга | W11 < 1 при всех возможных отображениях нашего семейства описывает окружность, касающуюся С в точке W0t Проведя теперь через z = 0 окружность, касающуюся С в точке M1 и обозначив через N точку пересечения этой окружности с нормалью к Г в точке ikf, мы можем условие F (0) = 0 заменить условием, что точка N отвечает точке w = 0.
Обозначим через <]> угол, образованный нормалью о действительной осью. Если центр O1 окружности С изображает число а, а длина отрезка O1N равна А, то точку N изображает число а + а точку М — число a — EА При этих обозначениях функция
z = me^ + a
даёт конформное отображение круга |С|< 1 на круг С так,
что точки C = O, C=-I и C = ^ переходят соответственно
в точки Z = a, Z = CL-Bei^ и г = а-| he^. С другой стороны, функция
h , , й + "
JfT+1
отображает круг | w | < 1 ,на круг |С| < 1, причём точки W= — 1, W = O переходят, соответственно, в точки C= — 1 и
C = g . Отсюда для искомой функции F (w) имеем выражение
