Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
+
+
+
Я* (k) = D„v (k) + D^ ik) 0pv (k). (103,13)
(103,14)
520
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
бенность диаграммной техники. Она связана с тем, что общий числовой коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка.
Это же свойство позволяет использовать функцию 2) (если она известна) для упрощения вычислений радиационных поправок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того, чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем просто заменить эти линии жирными, т. е. сопоставить им про-пагаторы 2) (вместо D), взяв их в требуемом приближении.
Если фотонная линия отвечает реальному (а не виртуальному) фотону, т. е. если она является внешним концом диаграммы в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю линию. Ей отвечает выражение, отличающееся от (103,13) заменой множителя D поляризационной амплитудой реального фотона:
(103,15)
Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо еи здесь надо писать AjfK
Все сказанное в § 76 относительно тензорной структуры и калибровочной неоднозначности приближенного пропагатора DiLV относится и к точной функции iV. Оставаясь в рамках релятивистски инвариантных представлений этой функции, напишем ее общий вид в форме
Я)»* (k) = 3> (k2) (gliv - -^) + (k2) ^ ; (103,16)
первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене
— калибровочно-произвольная функция. Аналогичное представление приближенного пропагатора1):
(k) = D (k2) (g(lv - -^) + D(/) (k2) (103,17)
Заметим теперь, что продольная часть пропагатора связана с не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что должно быть
&l'(k2) = &l'(k2). (103,18)
Обратные тензоры, по определению, удовлетворяют равенствам
*) Определение D(,) в этой формуле не совпадает с определением в (76,3).
§ 104] СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 521
Для прямых тензоров (103,16) и (103,17) обратные тензоры с учетом (103,18) имеют вид
k„kv\ . 1 k„k.
k2 ) D<1> k2 ’
1 ( KK\ . 1 KK (103,19)
n-i 1 ( Vv^,
uv — d k2 ) +
__________
D{t) k2
Из этих формул следует, что поляризационный оператор представляет собой поперечный тензор:
^ = (Ю3,20)
причем ZP = k2 — 4n/?D или
g><ti)= vm- <103.21>
Таким образом, поляризационный оператор является (в отличие от самого фотонного пропагатора) калибровочно-инвариантной величиной.
§ 104. Собственно-энергетическая функция фотона
Для дальнейшего исследования аналитических свойств фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризационным оператором, еще одну вспомогательную функцию П^(^г), которую называют собственно-энергетической функцией фотона. Именно, ШцУ/4п определяется как сумма всех вообще (а не только компактных) собственно-энергетических фотонных частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, представим точный пропагатор суммой
т. е.
П
ко
¦ Д,
-J- ^ ^pv
Выразив отсюда в виде
(104,1)
L iI)lv = - Д
4л
Uv
и подставив в это равенство (103,16), (103,19) и затем (103,21), получим
П^ = П(62)(^-^), . (104,2)
522 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
Мы видим, что II^v (как и 5Vv)—калибровочно-инвариантный тензор.
Полезность величины связана с ее выражением в коор-
динатном представлении. Его легко найти, заметив, что равенство
~ (k) = {^Р (k) - (&)},
с учетом следующей из (103,18) поперечности тензора — D*р,
в координатном представлении можно написать в виде
ПцУ (* — х') =
= i (<? А - ^дод°) (д'Л ~ ?v/A°) {®’-р (х - х') - D(X - *')}.
Для осуществления дифференцирования сюда надо подставить
3)%s> (х - х') - DKp (х — хг) =
= / (01Т Л* (jc) Лр (х') - ТAlt (х) Л?„( (х') 10). (104,3)
Мы видели в § 75, что дифференцирование Г-произведения требует, вообще говоря, осторожности ввиду его разрывного характера. Но усредняемая в (104,3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов Л^л:) и 2ifat(*) (взятых в один и тот же момент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются (ср. § 75). Поэтому дифференцирование разности X J04,3) можно производить под знаком Т. Согласно (102,6) (и такому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля Л{м(дс)) получим в результате выражение
ПцУ {х — х') = 4ш>2 (01 T/^ (лг) ]v (х') 10). (104,4)
Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность поскольку таковы операторы тока.
Из (104,4) можно получить важное интегральное представление этой функции.
Ввиду (104,2) достаточно рассмотреть скалярную функцию П — nJi/З. В координатном представлении
П (х - х') = Щ- ie2 (0 j Т/ц (*) /** (*') 10>=
fZ(0lyMW 1га)(га17ц (лг') 10), i>f,
(104,5)
lZ(0|U^|n>(n|f W|0>, /</',
V П
8 104] СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 523
где символ п нумерует состояния системы «электромагнитное+ +электрон-позитронное поля»1). Так как оператор тока j(x) зависит от x'l = (t, г), зависят от х также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний |п> состояния с определенными значениями полного 4-импульса.
