Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
зависящие от k линии вершины или и вычисляя далее по общим правилам. Суммируя эти высшие поправки, получаем
~Тп^—т^ (108-13>
где ieTpxv — сумма внутренних частей всех полученных указан-
ным способом «фотонных треххвосток».
Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора. Аналогичным образом дифференцируя еще раз равенство (108,13), имеем 1 дг&„
UV
4п dk?dk°
где ie29* — сумма внутренних частей всех «фотонных четырех -хвосток» вида
N0 у0
\ /
1егУ
'6
(108,15)
к к
(разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфотонными вершинами (108,12)).
§ 109. Электронный пропагатор во внешнем поле
Если система находится в заданном внешнем поле А^Цх), то точный электронный пропагатор определяется той же формулой (105,1), но в гамильтониан Н = H0-\-V, осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем:
V = е ^ Ац/^cfx + е ^ jnd3x. (109,1)
Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор 9 (х, х') будет зависеть теперь уже от обоих аргументов л: и я' в отдельности, а не только от их разности х — х'.
640
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Если перейти обычным образом к представлению взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигурировать также и линии внешнего поля. Такая техника, однако, неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать как малое возмущение, прежде всего — когда частицы в поле могут находиться в связанных состояниях. Между тем электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии.с учетом радиационных поправок. Для построения такого пропагатора следует исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывается точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному взаимодействию {W. Н. Furry, 1951).
В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стационарным, т. е. не зависящим от времени.
Требуемое представление г|з-операторов дается формулами
(32,9) вторичного квантования во внешнем поле:
•ф<е> (/, г) = X {ап'^{п) (г) ехр (—i&{n)t) + bn (г) ехр (/e^~V)},
П
(109,2)
•ф|г>(/, г)= X (г) ехр (/ei,+)/) + (г) ехр (—/е^_>/)},
П
где ,фп±>(г) и eir* — волновые функции и уровни энергии соответственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «одночастичной» задачи — уравнения Дирака для частицы в поле. Легко понять, что операторы (109,2) являются ^-операторами в некотором представлении (представлении Фарри), как бы промежуточном между гейзенберговским и представлением взаимодействия. Их можно записать в виде
¦ф,е)(/, г) = ехр (iHyt) -ф (г) ехр (—iff Д (Ю9 3)
•ф(е)(/, г) = ехр(Ш10гр(г)ехр(—iHxt),
где
Й\ = Н0 + 'е^ Л^ (*) j* {х) d3x.
Оператор же электромагнитного поля Аразумеется, коммутирует со вторым членом в Йи и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия.
Электронный пропагатор нулевого приближения в новом представлении определяется как
Gfk (х, х') = -/ <0 | Та|Г (х) (дет') | 0). (109,4)
§ 109]
ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
541
Оператор -фСе) (/, г) удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле
(ср. вывод (107,5)).
Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор !?, в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенберговского представления к представлению Фарри — в точности так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители /G(?,) (вместо iG).
Незначительное отличие в правилах записи аналитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в координатном представлении G(e)— функция не только от разности х — х'. В постоянном внешнем поле, однако, сохраняется однородность времени, и потому моменты t и t' по-прежнему будут входить лишь в виде разности / — /' = т, так что
Переход к импульсному представлению осуществляется разложением Фурье по каждому из аргументов функции:
Каждой линии, которой отвечает множитель /G<e>(e, р2, рО, должно приписываться теперь одно значение виртуальной энергии е, но два значения импульса — начальный pi и конечный р2:
В результате получается правило записи аналитических выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся интегрирования по йг/2п, а по d3p\/(2п)3 и d3p2/(2л)3 интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вершине. Например,
[ур — еуА{е)(х) — пг] ^(e)(t, г)—-0, (109,5)
а функция G(e)— соответственно уравнению
[ур — еуА(е) (х) — m]Gfe) (х, х') = б(4> {х — х') (109,6)
G<e> = G<e>(T, г, г').
GM(t, г, г)= J$$e‘<p*-p*-«>G(e, р2> р,)-
iGfe) (е, р2, р,) =
(109,8)
ш,к
= е2Ш°(в’(е’ Р2’ Р")У^'е)(е-XYvG(e,(e, р', Pi) (со, к)
— оо. р" — к, р' — к) X
542
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
(ГЛ. XI
Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуума». Так, в диаграмме
