Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(105,5)
sXf_____х*.
Путем суммирования, в точности аналогичного выводу (103,13), получим
9(p) = G(p)+G(p)J[(p)9(p) (105,6)
(биспинорные индексы опускаем), или, для обратных матриц, 9-l(p) = G-l(p) — M(p) = yp-m-J{{p). (105,7)
В § 102 уже было отмечено, что гейзенберговские ^-операторы (в противоположность ф-операторам в представлении взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор Выясиим закон его калибровочного преобразования (Л. Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952).
*) Как уже было объяснено в § 103, ие надо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во втором порядке:
§ 105]
ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР
527
Заранее ясно, что изменение 'З при калибровочном преобразовании должно выражаться через ту же величину Dil\ которая добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагатору. Это станет очевидным, если заметить, что при вычислении $ по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выражается через функции D и никаких других электромагнитных величин в них не входит. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора | в преобразовании (102,8), лишь бы ответ был выражен через D(l).
В результате преобразования (102,8) пропагаторы 2Е> (103,1) и ^ (105,1) переходят в
®,.. -¦' <» 1т 1\м - ^ М] И, <*'> - <*')] I »>.
$ik ~1 (о I Ti|>j (х) е4, ,xie~ie% (* 4ft (*')I °)-
Будем считать теперь, что операторы % усредняются независимо от всех остальных операторных множителей в 7-произведении; это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» % не принимает никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого оператора %: <0|х|0>=0. Тогда в (105,8) члены, содержащие отделяются и получается
^ + г' <° IТ М • ^ (*') 10), (105,9)
»iik -> <01 Те*** 1в* <¦*'> 10>. (105,10)
Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать б'/ вместо %.
Преобразование (105,9) можно (независимо от малости 6?) записать в виде *)
(* - *'), (105,1 1 )
где
dt') (x - x') = i (01 Тбх (X) бх (x') 10). (105,12)
Отсюда видно, что функция d(l) определяет изменение при калибровочном преобразовании продольной части фотонного пропагатора ?D<'1). Предположение о зависимости этой функции только от разности х — х’ означает, конечно, определенное ограничение на свойства оператора 6х> в общем случае вполне произвольного
’) Переход от (105,9) к (105,11) возможен, если функция dm и ее производная по t непрерывны при / = /'. В противном случае правые части этих выражений отличались бы 6-функииошшми членами (ср. вывод формулы (75,2)). В импульсном представлении это условие эквивалентно предположению о том, что d(,)(<7) убывает при |^2|->оо быстрее, чем 1 lq2.
528 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться.
В преобразовании же (105,10) разлагаем экспоненциальные множители по степеням б% с точностью до квадратичных членов:
(01 Те'в6* {Х>е~ т*(J?,) 10) «
- -1 е2 <01 б/2 (х) + б*2 (*') - 2Тб% (х) 6% (х') 10).
С учетом определения (105,12) находим, таким образом, следующий закон преобразования электронного пропагатора:
+ 6&^ie2$(x-x')[d<l40)-d<l4x-x')\. (105,13)
В импульсном представлении1):
б9(р) = te2 J d<l> (q) [S? (p) -9(p-q)]JgL. (105,14)
При этом функция dw{q) связана с изменением функции согласно
б SDW{q)^q2d^{q). (105,15)
Для электронного пропагатора можно было бы получить интегральное представление, аналогичное формуле (104,11). Его вывод основан на выражениях
4W М = (0) <г? {Рт~Рп) х (105,16)
для матричных элементов if-оператора, подобных использованным в § 104 выражениям (104,6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами ^-операторы калибровочно-неинвариантны. Поэтому и координатная зависимость вида
(105,16) не имеет общего характера, а относится лишь к некоторой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к определенной калибровке и основанное на (105,16) интегральное представление пропагатора. Более глубокая физическая при-
') Если функция f(x) = fi(x)f2(x), то ее компоненты Фурье
= Ш d*x eixiP~q'~q2)f> (?|) ь ш =
= ^ d(2п/Л 6<4> “ <7‘ “ q2) fl (<7l) (<7г) = S "W*" (<7) f2 ~ <7)‘
При переходе от (105,13) к (105,14) учтено также, что
I, С t , ч dfq
§ 106] ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР 529
чина этой ситуации состоит в том, что равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной катастрофе (см. § 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичный» пропагатор (105,1).
§ 106. Вершинный оператор
В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собственно-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию
