Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
_ о
---------------- + (103,8)
Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных между собой частей: пунктирной линии (которой отвечает — iD^) и замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распа-
§ 1031
ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
517
дение соответствующего ему аналитического выражения на два независимых множителя. Прибавив к диаграммам (103,8) диаграмму (линию-----------) нулевого приближения и «вынеся ее
за скобку», найдем в результате, что с точностью до членов второго порядка числитель в (103,7) равен
—{'+¦ О} + —О—
Выражение же <0|5|0) в знаменателе (103,7) представляет собой амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение содержит поэтому лишь диаграммы без внешних концов. В нулевом приближении <0|S|0> = 1, а с точностью до членов второго порядка получим
{< + О}
Разделив с той же точностью числитель на знаменатель, найдем, что фигурная скобка сокращается и остается
+ —о—
Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей выпадает из ответа. Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаменателю в (103,7), нетрудно понять, что роль знаменателя <0|S|0> сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точный пропагатор будет изображаться лишь диаграммами, не содержащими отделенных друг от друга частей.
Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые петли) вообще не имеют физического смысла и их не следует учитывать даже независимо от того, что они выпадают при образовании пропагагора Ж). Действительно такие петли представляют собой радиационные поправки к диагональному элементу
S-матрицы для перехода вакуум — вакуум. Но согласно (103,6) сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближения) дает лишь несущественный фазовый множитель, который не может отразиться ни на каких физических результатах.
Переход от координатного к импульсному представлению происходит обычным образом. Так, во втором приближении теории возмущений пропагатор —iSDv.vik) (который мы будем изображать жирной пунктирной линией) дается суммой
р+к
518
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
1ГЛ. XI
где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечисленным в § 77), с той лишь разницей, что внешним фотонным линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители —iD^ik). Аналитическая запись этой формулы дает поэтому1)
&V* (А) - (k) + ie*D^ (k) \ Sp v*G (p + k) ^G (p) Dpv (k)
(103,10)
(биспинорные индексы у матриц у и G, как обычно, не выписываем).
Члены следующих приближений строятся аналогичным образом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя внешними фотонными концами и нужным числом вершин. Так, членам отвечают следующие диаграммы с четырьмя верши-
нами:
—О— --<D- -<D"
(103 ,11)
о-о—
Четырьмя вершинами обладает также и диаграмма
9 А
верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной «замкнутой на себя» электронной линией. Такая петля отвечает
свертке ¦ф(х)уф(^), т. е. просто среднему по вакууму значению тока: <0|/(*)(0>. Но уже по самому определению вакуума эта величина должна тождественно обращаться в нуль, и это тождество не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейшими радиационными поправками к такой петле2). Поэтому вообще никакие диаграммы «с замкнутыми на себя» электронными линиями не должны учитываться ни в каком приближении.
Часть диаграммы («блок»), заключенную межд> двумя фотонными линиями (внешними или внутренними), называют вообще фотонной собственно-энергетической частью. В общем
') При определении знаков не забыть о множителе—1, привносимом замкнутой электронной петлей!
г) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся интегралам.
§ 103]
ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
519
случае такой блок еще сам может быть разделен на части, соединенные попарно одной фотонной линией, т. е. имеет структуру вида
где кружки обозначают блоки, которые уже нельзя разделить дальше таким способом; эти части называют компактными (например, из четырех собственно-энергетических частей четвертого порядка (103,11) компактны первые три).
Обозначим символом 4л сумму всех (бесконечного
множества) компактных собственно-энергетических частей; функцию ?FVv(&) называют поляризационным оператором. Классифицируя диаграммы по числу содержащихся в них компактных частей, можно представить точный пропагатор в виде ряда
где каждому заштрихованному кружку сопоставляется iZP^/An. Аналитически этот ряд запишется в виде
(тензорные индексы для краткости опущены). Но ряд в квадратных скобках внозь совпадает с рядом для 2D. Поэтому имеем
Умножив это равенство слева на обратный тензор (?)-‘)т^ и справа на (S5-1)vo (и изменив обозначения индексов), получим его в эквивалентном виде:
Подчеркнем, что представление 2) в виде (103,12) подразумевает, что из диаграмм можно выделить более простые блоки, которые вычисляются по общим правилам диаграммной техники. Комбинируя такие блоки друг с другом, мы получим правильные выражения для диаграмм в целом. Допустимость такого разделения составляет важную отнюдь не тривиальную) осо-
