Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 174

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 244 >> Следующая

а\ — а2 = а2, а,а2 = 0.
Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лоренца, так что a\k = a2k = 0.
Точная волновая функция для электрона в поле произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в § 40 (см. формулы (40,7—8)). Изменим, однако, ее нормировку: потребуем, чтобы \f>p отвечала равной единице средней пространственной плотности числа частиц, — подобно тому как мы нормируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в единичном объеме. Поскольку7 для функции (40,7) средняя плотность равна /о = qo/po, для получения требуемой нормировки надо умножить ее на VpoA7o> т- е- заменить в (40,7) множитель 1/У2р0 на 1/У2qa. Для волны с 4-потенциалом (101,2) получим
’Рр = {1 + [(у*) (Ya,) cos ф -f (yk) (ya2) sin ф] J X
Xexpj — эшф-|- ге-^-соэф — iqx}, (101,3)
где
Согласно (40,14) 4-вектор q — средний кинетический 4-импульс электрона; будем называть его квазиимпульсом.
Элемент 5-матрицы для перехода электрона из состояния t)v в состояние \fy с излучением фотона с 4-импульсом к* = = ((о , к ) и 4-вектором поляризации е'\
Sfi = — fe'J dAx. (101,5)
Подынтегральное выражение в (101,5) представляет собой линейную комбинацию величин
1,
СОЭф,
sin ф, где
--•W-Ш <101'6»
ехр (— tctj sin ф ia2 cos ф)
506 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ, X
Вместе с множителем ехр[i(k'-j-p' — р)х] эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х.
Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты разложения соответственно Bs, Bis, B^s, например:
ехр (— ict, sin <р + га2 cos <р) —
ОО
= ехр (— I л/af+af sin (ф — ф0)) = Ц Bse~lv*.
S= ¦—оо
Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя согласно формулам:
— Js (z) eis,\
Bls = j [/.+i (z) el (*+» * + 7S_, (*) el <*-'>4 (101,7)
?2s [/,+ i(z)e<(s+1)4>“ — /5_i(z)ei(s-1)‘>>0],
где г = д/-j- ixf, cos ф0 = ajz, s^0 = a2[z. Функции Bs, Bls, B2s связаны между собой соотношением
<x,?ls + a2fi2s = sBs, (101,8)
которое является следствием известного соотношения для функций Бесселя:
Js-Лг) + Js+i(z) = 2sJs(z)/z.
В результате матричный элемент (101,5) приобретает вид
Sfi=^wVo)1^ ? (2я)4 й(4) {sk+4 ~ч' ~ п (101,9)
довольно громоздкие выражения для амплитуд M'fl мы не станем здесь выписывать. Таким образом, Sfi представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения
sk + q = q' + k'. (101,10)
Поскольку
q2 = q'2 = m2(\ +l2) = tn2 (101,11)
(cp. (40,15)), а k2 = k'2 = 0, то равенство (101,10) возможно лишь для s ^ 1. s-й член суммы описывает излучение фотона k' за счет поглощения из волны s фотонов с 4-импульсами k. Из вида равенства (101,10) очевидно, что все кинематические соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами q, а импульс падающего фотона —
5 loll
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
507
4-вектором sk. В частности, для частоты излучаемого фотона в системе отсчета, где электрон в среднем покоится (q — 0, q0 = = т*), имеем
ъ' =-г-Г1....---------------5-, (101,12)
1 + (sto/m,) (1—cos в) '
где 0 — угол между к и к' (ср. (86,8)). Можно сказать, что частоты со' являются гармониками частоты со.
В принятых нами обозначениях (§ 64) амплитуда процесса излучения s-й гармоники совпадает с М\\\ а выражение
dWs = \ М$ |2-----d3/fg' , (2л)4 6(4) (sk + q - q' - k') (101,13)
(2л) 2(0 2q0‘2q0
дает соответствующую дифференциальную вероятность (отнесенную к единице времени)1).
Структура амплитуд подобна структуре амплитуд рассеяния с плоскими волнами: й(р') ... и(р). Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом. После суммирования по поляризациям конечных электрона и фотона и усреднения по поляризациям начального электрона получается
,,,, е2т2 d3k' d:iq' , , , ,,
dwt =------------r4- 6HJ (s/г + q - q' - k') X
4я 9и<70ш
x{ -2/*<z) + f (l + 2(fep^V))^+1 + /'-1~2/^}‘ (101,14)
Для интегрирования этого выражения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимутального угла ф вокруг направления к. Вместе с наличием 6-функции это обстоятельство дает возможность произвести интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину и = (kk')l(kp’). Тогда после интегрирования по d3k dq>d (q'0 + со') имеем
, , , ,ч d*q' d3k' 2я du
tt*'(sk + q — q -A)—V/------------»- v.
qua> (1 + и)
Действительно, в системе центра инерции (система, в которой sk+q=q+k'=0) указанное интегрирование дает 2л | q' \dccsB/Es,
¦) Обратим внимание на то, что нормировка функций ф0 на единичную плотность отвечает нормировке на б-функцию «по шкале q/2n» (ср. (40,17), где множитель ?о/Ро в правой стороне равенства будет теперь отсутствовать). Именно поэтому число конечных состояний электрона должно измеряться элементом d3q'/(2n)3.
508 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
где Es = sco -f- + я'0, а 8 — угол между к и q' (ср. преоб-
разование (64,12)). С другой стороны, в этой же системе Es , , _ __ л Es du
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed