Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
aW(0 = S(f, — оо)Ф, (102,13)
') Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гейзенберговских г|)-огш-раторах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование электромагнитных потенциалов вообще не затрагивает ф-операторов.
514
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
ГГ Л. XI
устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях. Соответственно формула преобразования операторов:
¦ф(/, г) = S’"1 (t, — оо)lf)int(/, r)S(t, — оо) =
= S(-<x>, г) 5(/, - оо) (102,14)
(то же самое для -ф и А).
Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуаций. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимодействием. В этой главе § 102—109 посвящены изложению формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами производятся так, как если бы они были конечными. Получаемые таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность: они позволяют более глубоко уяснить смысл разложений теории возмущений; возможно также, что онн сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних затруднений.
§ 103. Точный фотонный пропагатор
Основную роль в аппарате точной (без разложений по степеням е2) теории играют понятия о точных пропагаторах').
Точный фотонный пропагатор (который мы будем обозначать буквой 3) рукописного шрифта) определяется формулой
(х - х') = I <0 | ТАц (х) Av (х') 10>, (103,1)
где Лц(л:)—гейзенберговские операторы, в отличие от определения (76,1):
(х - х') = i <0 | ТуС (х) А™ (х') | 0>, (103,2)
в котором фигурировали операторы в представлении взаимодействия. В отличие от точного пропагатора (103,1), функцию
(103,2) можно назвать пропагатором свободных фотонов.
Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения
(103,1) нельзя получить точное аналитическое выражение для хотя определение (103,1) и позволяет установить некоторые общие свойства этой функции. Этому будет посвящен
') Эти понятия были введены Дайсоном (F. Dyson, 1949); им же в основном построен весь излагаемый в этой главе аппарат.
§ 103) ТОЧНЫЙ ФОТОННЫП ПРОПАГАТОР 515
§ 111, а пока мы займемся вычислением 2)^ по теории возмущений, с помощью диаграммной техники. Для этого надо выразить через операторы в представлении взаимодействия.
Пусть сначала t>t'. Используя связь между А{х) и Аш\ (х) (ср. (102,14)), пишем
0„v (х - х') = I (01 (х) Av (*') 10) =
= /(0|S(-oo, 0Л^(лг)5(/, -oo)S(-oo, /'M‘vn,(jc')S(/'f -оо)| 0). Согласно (102,12) заменяем
S(t, -<x>)S(—оо, t') = S(t, О,
S (— ОО, t) = S(— ОО, 4-оо)5(оо, t).
Тогда
(X — х') =
= /<0|S-,[S(oo, /) (*) S (Л t')A[nt(x')S{t', —оо)] 10), (103,3)
где для краткости обозначено
5 = 5(+°°, —<х>). (103,4)
Поскольку по определению (102,11) S(t2,ti) содержит только операторы в моменты времени между t\ и t2, расположенные в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все операторные множители в квадратных скобках в (103,3) расположены в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно переставлять порядок множителей, так как оператор Т автоматически устанавливает их в нужном порядке. Воспользовавшись этим, перепишем выражение в скобках в виде
[...] = Т [ A^(x)A^(x')S (<*>, t)S(t, t')S(t', -<*>)] =
= Т [Л|?‘(*)ДП‘(*')§].
Таким образом,
- х') = i <01 S-П [Л‘п‘ (х) Л‘*‘ (х') S] | 0). (103,5)
Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна и при t < t'.
Покажем теперь, что множитель S-1 можно вынести из-под знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множителя. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функция вакуума Ф совпадает со значением Фш(—оо) волновой функции этого же состояния в представлении взаимодействия (см. (102,9)). Согласно же (72,8) имеем
5Фш» (—°°) = §(4-°°, — °о)Фш1(—оо) = ф1п4(+ оо).
516
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Но вакуум представляет собой строго стационарное состояние; в нем невозможны никакие самопроизвольные процессы рождения частиц. Другими словами, с течением времени вакуум остается вакуумом; это означает, что <Dint(+°°) может отличаться от ®int(—со) лишь некоторым фазовым множителем е‘а. Поэтому
SOint (—00) = e‘'aOint (—00) = (0| 5 10) Oint (—00). (103,6)
Произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность оператора S, получим
Ф*п* (-°°) 5-1 = <01 5 10)-‘ Ф’п1 (-00).
Отсюда ясно, что выражение (103,5) может быть переписано в виде
(о I ТЛ'П‘(ж) Л‘п‘ (Oslo)
3>^ (х - х') = I AJ---ц -¦ 1 1 . (103,7)
Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение
(72,10) для S и произведя усреднение с помощью теоремы Вика (см. § 77), мы получим разложение 2)^ по степеням е2.
В числителе (103,7) усредняемые выражения отличаются от матричных элементов рассматривавшегося в § 77 типа (77,1) лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уничтожения фотонов в них стоят операторы Л^п‘ (х) и Л^п‘(х'). Поскольку все множители в усредняемых произведениях стоят под знаком хронологизации, попарные свертки этих операторов с «внутренними» операторами v4int(jfx), Л1п‘(х2), ... будут давать фотонные пропагаторы D^.v. Таким образом, результаты усреднения выразятся совокупностями диаграмм с двумя внешними концами, составляемых по описанным в § 77 правилам, с той лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным линиям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы Dnv (вместо амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении, при 3=1, числитель выражения (103,7) совпадает просто с D,xv(x — х'). Следующие отличные от нуля члены будут ~е2. Они изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних конца и две вершины:
