Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 180

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 244 >> Следующая

Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением
(я 11 (t, г) | т) = (п | /** (г) | т) е~1 ~ Еп) \
где Еп, Ет — энергии состояний |п) и \tn), /(г) — шредингеров-ский оператор.
Для определения координатной зависимости матричных элементов рассматриваем оператор /(г) как результат преобразования оператора /(0) путем параллельного переноса на расстояние г. Оператор такого переноса есть ехр(ггР), где Р — оператор полного импульса системы (см. III (15,13)). Имея в виду общее правило преобразования матричных элементов (см. Ill
(12,7)), находим поэтому, что
(п | у'1* (г) | т) — {п | e~trPj'x (0) eirP | т) = {п | /** (0) | т) е (pm~pn)r.
Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно
(n\f(t, г)|m) = (пJ f (0)jm)e~l(p"»_pn)(104,6)
Отметим также, что матрица <n 1/^(0) |m> эрмитова (как и матрица (104,6) оператора у1* (t, г) в целом), а в силу уравнения непрерывности (102,7) она удовлетворяет условию поперечности
(Pn~PJ4n\U(0)\m) = 0. (104,7)
Вернемся к вычислению функции П(*— х'). Подставив '(104,6) в (104,5), получим
n(|) = i^l 2<0|/li(0)|n)<n|/li(0)|0)^l4 T=g=0, (104,8)
П
где х —¦ х' — ? — (т, |). Обозначим
р (*2) = 4яе^_ {2п)3 ? (0! ^ (0) j п) <0 j у (0) , п). б(4) {k _ рп)'
(104,9)
') Оператор тока сохраняет заряд, поэтому состояния |я> в (104,531 могут содержать лишь одинаковые числа электронов и позитронов.
Б24
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Суммирование производится по всем системам реальных электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном с 4-импульсом Л: = (со, к) (Д>0), а для каждой из таких систем — еще и по ее внутренним переменным (поляризации и импульсы частиц в системе центра инерции)1). В результате такого суммирования функция р может зависеть только от k, а ввиду ее скалярности — только от k2. В частности, р не зависит от направления к. Имея в виду эти свойства функции р, переписываем (104,8) в виде
оо
Л(?)= — / ^ dv> ^ -^уз-р(62)егк|-г'й)т =
О
оо
=S iw- SS ^w)Mix2-62)p(ixvkw“,T>.
о
Переход к импульсному представлению осуществляется подстановкой сюда формулы
оо
е-ш\х\ = 2/(о [ -L-^3. (104,10)
J k2n-<а2 + Ш 2п
— оо и
(использованной уже в § 76) и дает
оо оо
П (k2) = \ d (ц2) \ d (со2) б Ох2 + к2 - со2).,^> ,
J J ki — to4-10
0 0 0
;или окончательно2)
(104,11)
0
Коэффициент р в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции П(&2). Он обладает
¦) Такое определение состояний |я>, очевидно, тождественно с определением их как состояний, для которых отличны от нуля матричные элементы <0|/|я> зарядово-нечетного оператора.
2) Формальные вычисления, аналогичные произведенным выше, требуют осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей. Это приводит, в частности, к появлению в правой части (104,11) дополнительных расходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида (так называемые швингеровские члены). Мы не выписываем их, поскольку они все равно исчезают при перенормировке (см. § 110) и не сказываются нэ дальнейших результатах.
§ 105]
ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР
525
свойствами:
р(&2) = 0 при k2 < 0,
p(k2) > 0 при k2 > 0. (104,12)
Действительно, 4-импульс k виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно времени-подобен (k2 совпадает с квадратом полной энергии частиц в системе их центра инерции). В силу же условия поперечности
(104,7) имеем
Р%Ф\1* (0)|п) = 0.
Но 4-вектор <0|/|тг>, ортогональный времениподобному 4-вектору (Рп), пространственноподобен, т. е.
<01 /V (0) | «> <01 (0) I< о, а потому согласно определению (104,9) р > 0.
§ 105. Точный электронный пропагатор
Подобно фотонному, точный электронный пропагатор определяется формулой
$ik (х — х') = — i <01 Тф, (*) % (*') 10) (105, [)
'(/, k — биспинорные индексы), отличающейся от определения (75,1) пропагатора свободных частиц
Gik (х -*') = - i <01 ТфГ‘ (х) (х') 10) (105,2)
заменой if-операторов в представлении взаимодействия гейзенберговскими.
Те же рассуждения, что и при выводе (103,7), позволяют преобразовать §ik к виду
(105,3)
Разложение этого выражения по степеням е2 приводит к представлению ^-функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешними электронными линиями и различным числом вершин. При этом роль знаменателя в (105,3) снова сводится к необходимости учитывать лишь диаграммы без изолированных «вакуумных петель». Так, с точностью до членов ~е4 графическое
526
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
представление пропагатора 'З (жирная сплошная линия) имеет вид ')
+ + (105,4)
-Ui
Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном представлении) функция i'Sip), а всем сплошным и пунктирным линиям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы свободных частиц соответственно iG и —iD.
Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью. Как и в фотонном случае, такую часть называют компактной, если она не может быть разделена дальше на две другие собственно-энергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим посредством —iJttk', функцию Мш(р) называют массовым оператором. Так, с точностью до членов ^-е4
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed