Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(106,11)
ft
У
Pi
(106,12)
^Kik.tm(x 1, х2> *3, х4) е‘ (рл+рл-р^-рл) d4x]d4x2d4x3d4x4 =
= (2jt)46<44pt + р2 — Рз — P*)Ktk.tm(P3, Р*> Ри Pi), (106,14)
причем
+ 9ln(p3)9lir(pi)[— iTnr.stiPs, РЛ Ри Р2)] 9Л (р,) 9tm (р2). >(106,15)
§ 1071
УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА
533
каждая:
иш
В третьем же члене множители ‘S исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям.
Отметим также, что по свойствам 7-произведения фермиев-ских ^-операторов функции Г (р3, р*, р\, р2) обладают свойствами антисимметрии:
^Ik, 1т(РЗ’ Pb Ри Pi)= Гй?, ;m(p4, р3, р 1, р2) =
Если импульсы рь р2, рг, рл отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы (106,12) изображают процесс рассеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процесса, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов ^)'):
1Мп = щ(р3)йк(рл)[—1еГ{к,,т(р3, р4\ рь p2)]u,(pi)um(p2). (106,17)
Ввиду (106,16) эта амплитуда автоматически обладает должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов.
§ 107. Уравнения Дайсона
Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между собой определенными интегральными соотношениями. Их происхождение становится в особенности ясным из диаграммного метода.
Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимости или приводимости распространяется не только на вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энергетические электронные диаграммы.
Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это — диаграмма второго порядка
= — Г<й,т/(Рз. Р{, Ръ р{)- (106,16)
') Мы увидим в дальнейшем (см. § 110), что при составлении амплитуд реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в свободных концах диаграммы.
534 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
Всякое усложнение этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершин1).
Поскольку, таким образом, из всех компактных собственноэнергетических электронных частей лишь одна неприводима, совокупность всех таких частей (т. е. массовый оператор Ж) изобразится всего одной скелетной диаграммой:
р+к
<0<107''>
к
Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство дает2)
Ж (р) = G-1 (р) — $~1 (р) =
= — ie2 ^ yv^ (Р + k) Г*1 (р + k, р\ k) • (k) (107,2)
Аналогичное выражение может быть написано и для поляризационного оператора <?. Среди фотонных компактных собственно-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что представляется всего одной скелетной диаграммой:
') Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокупность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, зависит от того, которой из вершин он приписывается. Например:
где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые играют роль вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине.
2) Если в (107,1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то в уравнении (107,2) переставятся множители у и Г. Обе формы уравнения, разумеется, по существу эквивалентны.
§ 107) УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА 535
Соответствующее аналитическое равенство:
^IvW П-^АЧ —4^ — Aw («) («) —
= ie2 Sp ^ (P + k) Tv (p + k, p; k) 9 (p) (107,4)
'(биспинорные индексы в (107,2) и (107,4) опущены).
Соотношения (107,2) и (107,4) называют уравнениями Дайсона. Их можно получить также и прямым аналитическим вычислением.
Так, для вывода уравнения (1.07,2) рассмотрим величину [ур — т)ц dlk (х — х') = —i (ур - т)п <01 Т-ф; (х) -ф* (х') 10)
(p = id— оператор дифференцирования по х). Она вычисляется с помощью (102,5) точно так же, как это было сделано в § 75 при выводе уравнения (75,7) для пропагатора свободных частиц. В результате получим
(YР — пг)ц$1к (х — х') =
= —/eYЬ <° | ТЛу (х) ^ (х) (х') | 0) + 6,й6<4> (х — х'У,
6-функционный член в правой стороне этого равенства такой же, как в (75,7), поскольку коммутационные соотношения при t = t' для ^-операторов в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть
—ieyvKjk (х, х, х'), так что можно написать (снова опуская биспинорные индексы):
(ур — т)д (х — х') = — ieyiXK)l(x, х, х') + 6f4)(х — х'). (107,5)
Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проинтегрировать определение (106,3) по d*kd*p2/(2я)8, то получим
\ К* (р + р; k) -gr = \ W (0, 0, х3) е-‘?Ы% =
= ^Л>(х, х, х')е*Р<х-хМ4(х~х'), (107,6)
откуда видно, что интеграл в левой стороне представляет собой компоненту Фурье функции К^(х, х, х'). Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих сторон уравнения (107,5), использовав затем определение (106,9) и вспомнив, что ур — т — G~l(p), получим
