Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
дй — I q I COS I
u=--------i 7~i--^ 11 dCOS9= I-T-
I q 1(1 + «)
Интервалу —1 ^ cos 8 ^ 1 соответствует интервал
^ (kp)
0^.u^.us = —r — 1 ---------5—
m. m.
(при преобразованиях следует помнить, что (kp) = (kq)).
Таким образом, полная вероятность излучения в единицу времени
S = 1
U* оо *
=т? Z \ (2 + тттг) (/3+=+Л-,-2Л)}.
S = 1 и
(101,15)
где1)
u, = 2s(kp)
(kp0 т\
2
*-w71^r Vt('-t)
(101,16)
При i 1 (условие применимости теории возмущений) подынтегральные выражения в (101,15) могут быть разложены по степеням Так, для первого члена разложения в W\ получается
0
=—s2[fi --Vim1 +«i) + 1+—----------------------------1—rl-
4 р0 \\ и, и{) 2 «1 2(1 + И|) J
(101,17)
') Для вычисления г надо заметить предварительно, что
*¦-(«,«—sr~i$r
В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (а,)0 = (аг)о = = 0, а векторы аь аг, к направлены по осям ж1, х2, х3, и заметив, что в силу kQ = 0 будет Q0 = Q3-
§ 101]
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
509
причем щ « 2 (kp)/m2. Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой Клейна — Нишины для рассеяния фотона на электроне: положив в (101,17) —а2 = Ап/а, ?2 = 4яе2/т2со и разделив на плотность падающего потока (64,14), мы вернемся к (86,16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона)').
Приведем также выражение для вероятности испускания второй гармоники (первый член разложения W2 при | 1):
W о
егтг\А
Ро
$7rT=Fi('-i)[2+T^-^0-i)]=
0
_ е2тг14 Г 1 | 1____4__2______________1_
р0 [_ 2 3uj и\ и\ 2(1+ 2и,)
+ (10U8)
Вообще, основной член в Ws (при не слишком больших s) пропорционален ?2s.
Остановимся теперь на противоположном случае: | 1. Па-
раметр | можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты со при фиксированной напряженности поля (очевидно, что | = eF/ты, где F—амплитуда напряженности поля). Поэтому ясно, что случай 11 по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем условно такое поле скрещенным). Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом но
проще произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв
4-потенциал в виде
— а^ф, y = kx, ak = 0 (101,19)
(так что F^v = k^ay — = const). Точная волновая функция
электрона в этом поле получается подстановкой (101,19) в (40,7-8):
ф Г j + еЖШ -j г Jo?L 2+/е2_?!_ з _ г- 11
L ^ 2 (kp) л/2^ 2 (Ар)ТТ 6 (М и I
(101,20)
Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона. Но в ультрарелятивистском случае этот
‘) Указанное значение а2 отвечает нормировке 4-потенциала на один фотон в единичном объеме. Для его определения надо приравнять ш энергии классического поля с (вещественным) 4-потенциалом (101,2).
SIO
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[ГЛ. X
результат (при надлежащей форме его представления—см. ниже) относится к излучению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в § 90).
Для формулировки этого утверждения заметим, что состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в квантовые числа свободной частицы, т. е. в ее 4-импульс р^(р2—тг). Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет описываться постоянным 4-вектором р.
Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно составить из постоянных 4-тензора F^ и 4-вектора Учитывая также, что F^y должен входить в интенсивность только вместе с зарядом е, получаем три безразмерных инварианта:
X2 = — -^Г (^,РЧ2 = — a2 {kpf, f = "
г—
(101,21)
В скрещенном поле f— g = 0, в то время как в общем случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон — ультра-релятивистский (ро^т), а вектор р составляет с полями Е, Н углы 0 т/ро, то х2 ^ f, g (другими словами, для ультрареля-тивистской частицы почти для всех направлений р любое постоянное поле выглядит как скрещенное). Если, кроме того, напряженности поля | Е|, |H|<Cm2/e ( = m2c3/eh), то [f|, jg|<C <к. 1 ‘). В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант %, будет относиться также к излучению во всяком постоянном поле.
Инвариант х выражается через напряженности Е, Н согласно
Х2 = ^{([РН]+Р0Е)2-(РЕ)2}.
Для постоянного магнитного поля % совпадает с введенной в § 90 величиной (90,3), так что изложенные здесь соображения дают другой способ получения результатов § 902).
•) При этом в выражении для % можно с той же точностью считать р обычным кинематическим 4-импульсом частицы.
2) Подробное изложение теории различных процессов в сильных полях см. в обзорах А. И. Никишова и В. И. Ритуса в сб. сКвантовая электроди-
намика явлений в интенсивном поле> (Труды ФИАН. — М.: Наука, 1979.^ Т. 111).
