Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому в написанном выше условии постоянства числа молекул дифференциалы в обеих сторонах равенства взаимно сокращаются, и мы получаем
п (Z) f (V2) = n{z')f (Vz). С помощью барометрической формулы находим отсюда:
f(v'z) _ n{z)
Hvl)- п(г')~ Вспомнив теперь, что
/ /ч ти г mvl mg(z — z ) = ~2---2".
получим-
mvZ nwZ
Г / Ч 'IkT Г / >ч 2кT
1 (?) Є =/ (?) е
т. е. это произведение есть константа, не зависящая от vz. Другими словами, функция f(vz) имеет вид
mvI
/(U2) = Conste 2кТ.
[Обратим внимание на то, что ускорение силы тяжести в эту формулу не вошло. Так и должно быть, поскольку механизм установления распределения молекул газа по скоростям заключается в столкновениях молекул друг с другом и не имеет отношения к внешнему полю; последнее играло в изложенном выводе лишь вспомогательную роль: введя это поле, мы связали распределение по скоростям с уже известной нам формулой Больцмана.]
Мы нашли равновесное распределение молекул по значениям одной отдельной компоненты их скорости. Доля же молекул, обладающих определенными значениями всех трех компонент скорости одновременно, получится, очевидно, 17.2
ТЕПЛОТА
[гл. V-I
перемножением долей молекул, обладающих определенными значениями каждой из компонент в отдельности. Другими словами, полная функция распределения имеет вид
mvI mv2 mvz
f(vx, Vy, zg = const е~2?ту"2ЙТе--2ІГ.
Складывая показатели степеней и замечая, что сумма Arv'y-\-vl есть квадрат Vі абсолютной величины скорости, получаем окончательно
mv2
/ = const е 2kT .
Таким образом, число dN молекул в газе, компоненты скорости которых лежат в интервалах между vx, Vy, vz и vXjTdvx, vy+dvy, vz-\-dvz, есть
mv2
dN = const е 2kT dvxdvydvz
(постоянный коэффициент const определяется условием, чтобы полное число молекул со всеми возможными значениями скоростей было равно заданному числу N молекул в газе; мы не будем выписывать здесь значение этого коэффициента). Полученная формула называется формулой распределения Максвелла.
Обратим внимание на аналогию между этой формулой и формулой Больцмана для распределения плотности газа по пространству во внешнем поле: в обоих случаях мы имеем дело с экспоненциальным выражением вида
E
е kT,
mv2
где є — энергия молекулы: кинетическая энергия в случае распределения по скоростям или потенциальная энергия U(x, у, г) во внешнем поле в случае распределения по пространству. Такое выражение часто называют больцманов-ским множителем.
Задание трех компонент vx, vv, vz определяет как величину скорости молекулы, так и ее направление. Но распределение молекул по направлениям скорости просто равномерно— во всех направлениях летят в среднем одинаковые числа молекул. [Это следует из распределения Максвелла, в котором фигурирует только абсолютная величина § 55] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
179
скорости V, но очевидно и заранее. Если бы распределение скоростей по направлениям было неравномерным, то в газе существовало бы некоторое преимущественное направление движения молекул; это означало бы, что газ не покоится, а движется в некотором направлении.]
Формулу Максвелла можно преобразовать так, чтобы она прямо отвечала на вопрос о распределении молекул газа по абсолютным значе- ^ ниям скоростей, вне зави-симости от их направления. Для этого надо просуммировать числа молекул, различающихся значениями компонент скорости Vx, Vy, Vz при одинаковой сумме v2 = = Vl + v\ + v\. Это легко сделать, воспользовавшись Рис. 2.
следующей геометрической
аналогией. Если ввести систему координат, на осях которой откладываются значения vx, vy, vz, то произведение dvxdvydvz будет представлять собой объем бесконечно малого параллелепипеда с длинами сторон dvx, dvy, dvz. Мы должны просуммировать все такие элементарные объемы, находящиеся на одинаковом расстоянии от начала координат (очевидно, что V представляет собой длину «радиуса-вектора» в этих координатах). Эти объемы заполнят шаровой слой между двумя бесконечно близкими сферами с радиусами V и v-\-dv. Его объем равен произведению площади сферической поверхности Anv2 на толщину слоя dv.
Таким образом, заменив в формуле распределения Максвелла произведение dvxdvydvz на 4nv2dv, мы найдем число молекул со скоростями в интервале значений между v и v+dv:
ту2
dN =Conste '2kTv2dv.
Выражение, стоящее в этой формуле перед dv, представляет собой число молекул, отнесенное к единичному интервалу значений скорости. Как функция от v оно Имеет вид, изображенный на рис. 2. Оно равно нулю при z>=0, достигает максимума при некотором v=v0 и очень быстро стремится 180
ТЕПЛОТА
[гл. VII
к нулю с дальнейшим возрастанием скорости. Максимум
кривой соответствует значению v0=\/r2kT/m, несколько меньшему, чем определенная в § 50 тепловая скорость vT.
Поскольку разные молекулы имеют различные скорости, то при определении средних характеристик существенно, какая именно величина подвергается усреднению. Так, среднее значение первой степени скорости V отнюдь не совпадает со скоростью Vt=У ф (которую часто называют также средней квадратичной с целью подчеркнуть ее происхождение). С помощью распределения Максвелла можно показать, что ?>=0,92 vT.
