Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде
p = p0e-№'RT, где р. — молекулярный вес газа, R — газовая постоянная.
Эту формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассматривать отдельно, т. е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них.
Чем больше молекулярный вес газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами; кислород, например, убывает в атмосфере быстрее, чем азот.
Следует, однако, иметь в виду, что применимость барометрической формулы к реальной атмосфере весьма ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии и ее температура меняется с высотой.
Из формулы Больцмана можно сделать интересное заключение, если попытаться применить ее к атмосфере на любых расстояниях от Земли. На очень больших расстояниях от земной поверхности под U нужно понимать не mgz, а точное значение потенциальной энергии частицы
J . п Mm § 55] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
175
где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли и г — расстояние от центра Земли (см. § 22). Подстановка этой энергии в формулу Больцмана дает следующее выражение для плотности газа:
n = nu>eCMm'kTr,
где мы обозначили теперь плотность газа в месте, где U=О (т. е. на бесконечном расстоянии от Земли) через пт. Положив здесь г равным радиусу Земли R, найдем соотношение между плотностью атмосферы на поверхности Земли п0 и на бесконечности
п^=ПйЄ~СМт,ЯкТш
Согласно этой формуле плотность атмосферы на бесконечно большом расстоянии от Земли должна была бы быть отлична от нуля. Такой вывод, однако, абсурден, так как атмосфера имеет земное происхождение, и конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Мы пришли к этому выводу потому, что молчаливо предполагали атмосферу находящейся в состоянии теплового равновесия, что не соответствует действительности. Но этот результат показывает, что гравитационное поле вообще не может удержать газ в состоянии равновесия, а потому атмосфера должна непрерывно рассеиваться в пространстве. В случае Земли это рассеяние чрезвычайно медленно, и за все время своего существования Земля не потеряла сколько-нибудь заметной доли своей атмосферы. Но, например, в случае Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения потеря атмосферы происходила гораздо быстрее, и в результате Луна в настоящее время атмосферы уже не имеет.
§ 55. Распределение Максвелла
Тепловая скорость vT представляет собой некоторую среднюю характеристику теплового движения частиц. В действительности различные молекулы движутся с различными скоростями и можно поставить вопрос о распределении молекул по скоростям: сколько (в среднем) из имеющихся в теле молекул обладает теми или иными скоростями?
Решим этот вопрос для идеального газа, находящегося в состоянии теплового равновесия. Для этого рассмотрим 176
ТЕПЛОТА
[гл. VII
столб газа, находящийся в однородном поле тяжести. Будем сначала интересоваться распределением молекул по значениям лишь одной (вертикальной) компоненты скорости, vz. Обозначим посредством
nf (Vz) Llvz
число молекул в 1 см3 газа, у которых значение этой компоненты лежит в бесконечно малом интервале между некоторым Vz и vz-'rdvz. Здесь п — полное число молекул в данном объеме, так что функция f(vz) определяет долю числа молекул с тем или иным значением vz.
Рассмотрим молекулы со скоростями в интервале dvz, находящиеся в бесконечно тонком (толщины dz) слое газа на высоте z. Объем этого слоя совпадает с dz (если площадь сечения столба газа 1 см2), поэтому число рассматриваемых молекул равно
п (г) / (Vz) dvz dz,
где n(z) — плотность газа на высоте г. Двигаясь как свободные (столкновениями в идеальном газе можно здесь пренебречь), эти молекулы с течением времени перейдут на некоторую другую высоту z , заняв слой толщины dz' и приобретя скорости в интервале между некоторым V1 и v'z -\-dv't. Неизменность числа эТих молекул выражается равенством
п (z) / (Vz) dvzdz = n(z')f (v"z) dv'zdz'.
При движении в поле тяжести горизонтальные составляющие скорости (vx, vy) не'меняются, а изменение Vz определяется законом сохранения энергии, согласно которому
mv\ , mv'z . ,
+ tngz = —2—Ь mg г .
Дифференцируя это равенство (при заданных постоянных значениях Z и z'), получим соотношение
vzdvz = v'jlv'z
между интервалами dvz и dv'z, в которых заключены вертикальные скорости рассматриваемых молекул на высотах гиг'. Толщины же слоев dz и dz' связаны друг с другом соотношением
dz_dz'
її--
vZ Vz § 55]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
177
оно выражает собой просто то обстоятельство, что за время dt=dz/vz, в течение которого молекула пересекает слой dz на высоте z, на высоте z' она пройдет расстояние dz'=v'zdt. Перемножив почленно оба соотношения, найдем dv/lz = dv'zdz'.
