Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
J pV 1,013-IO6-I 0 _ ,т9 1==Ш = 1,38-10-^-273 = 2'7- 10 молекул
(это число иногда называют числом Лошмидта).
Число молекул N в газе можно записать как N=vN0, где V — число грамм-молекул (молей) газа, a N0— число АвоГадро. Тогда уравнение состояния представится в виде
pV = vRT,
где R=kN0 — так называемая газовая постоянная. В частности, для одного моля газа имеем
pV = RT.
Перемножив значения k и N0, найдем, что R = 8,314-IO7——=8,314 дж
7 ЗПЛЛ. «АҐіПи '
град-моль ' град-моль
(если в качестве единицы энергии используется калория,
то R с большой точностью равно 2 ———^ ); слово моль
1 моль-град J
в символе размерности означает 1 грамм-молекулу.
Если давление газа измеряется в атмосферах, а объем —
в литрах, то
R = 0,082 -л'атм
град-моль
Пользуясь этим значением, легко определить объем грамм-молекулы газа при давлении 1 атм и температуре 0° С:
V = — = 273 = 22,4
P 1
При постоянной температуре произведение объема и давления определенного количества газа является постоянной величиной
pV = const при Г = const.
Это — известный закон Бойля — Мариотта.
Из уравнения состояния идеального газа следует также, что если некоторое количество газа находится при 17.2 ТЕПЛОТА [гл. V-I
постоянном давлении, то его объем пропорционален абсолютной температуре газа:
V T .
іг = ПРИ P = const,
V0 jO
где V и IZ0— значения объема газа при температурах T и T0. Аналогичным образом
— = Jr- при V = const. Po T0 г
Эти важные соотношения показывают, что абсолютная шкала температур может быть построена без измерения скоростей и энергий молекул, путем использования свойств идеальных газов.
Если T0 — температура замерзания воды и вместо абсолютной температуры газа T ввести температуру t по шкале Цельсия (T=273+ /), то написанное соотношение между объемом и температурой газа примет вид
V= V0 +2^3) ПРИ p = COnst.
Это — известный закон Гей-Люссака, согласно которому при нагревании на 1° объем газа увеличивается на 1/273 часть своего объема при O0 С.
При выводе уравнения состояния идеального газа мы не пользовались тем, что все его молекулы одинаковы. Поэтому это уравнение; годится и в том случае, когда газ представляет собой смесь различных идеальных газов,— снова естественный результат пренебрежения взаимодействием молекул. При этом нужно только под N понимать общее число молекул газа, т. е. сумму чисел молекул разных сортов: N-N1-I-N2+..., где Ni — число молекул і-го сорта. Переписав уравнение состояния газа в виде PV = N1kT+N2kT-\- ...
и замечая, что если бы весь объем занимали только молекулы і-го сорта, то давление Pi удовлетворяло бы соотношению PiV=NjkT, мы приходим к выводу, что p = pi + p2+..., т. е. давление смеси газов равно сумме тех давлений, которые производили бы отдельные газы этой смеси, занимая весь объем (закон Дальтона). Давления plt р2,... называются парциальными давлениями соответствующих газов. § 54]
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
173
§ 54. Идеальный газ во внешнем поле
Рассмотрим идеальный газ, находящийся в каком-либо силовом поле, например в поле тяжести. Так как на молекулы газа в этом случае действуют внешние силы, то давление газа не будет всюду одинаковым, а будет меняться от точки к точке.
Рассмотрим для простоты случай, когда силы поля имеют неизменное направление, которое мы выберем в качестве оси г. Возьмем две площадки величиной в 1 см2, ориентированные перпендикулярно оси г и находящиеся друг от друга на расстоянии dz. Если давления газа на обеих площадках равны р и p+dp, то разность давлений должна, очевидно, равняться суммарной силе, действующей на частицы газа, заключенные в объеме параллелепипеда с основанием в 1 см2 и высотой dz. Эта сила равна Fndz, где п — плотность молекул (т. е. их число в единице объема), a F — сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой z. Поэтому
dp = nFdz.
Сила F связана с потенциальной энергией молекулы U(z) соотношением F=—, так что
dp = — ndz~ = — п dU.
Так как газ предполагается идеальным, то pV=NkT. Замечая, что N/V=n, можно переписать это уравнение в виде p=*nkT. Будем предполагать, что температура газа в различных точках одинакова. Тогда
dp = kT dn.
Приравняв это выражение полученному выше выражению ф=—ndU, найдем
dn , /, ч 4U
T = d(lnn) = -W.
Отсюда
In л = — + const,
и окончательно
и
п = ппе кТ . 174
ТЕПЛОТА
[гл. VII
Здесь n0— постоянная, представляющая собой, очевидно, плотность молекул в точке, где U=0.
Полученная формула, связывающая изменение плотности газа с потенциальной энергией его молекул, называется формулой Больцмана. Давление отличается от плотности постоянным множителем kT, поэтому такое же уравнение справедливо и для давления
p = p0e-V'«T.
В случае поля тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия молекулы на высоте z равна U=mgz, где т — масса молекулы. Поэтому, если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление р на высоте z будет связано с давлением р0 на поверхности Земли соотношением т„,,ЪТ P = p0e~m&z/kT.
