Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
поле
[гл. 11
В результате возникает состояние «невесомости», т. е. предметы в ракете ведут себя так, как если бы они находились в инерциальной системе отсчета в отсутствие какого-либо поля тяготения. Таким образом, рассматривая движение по отношению к надлежащим образом выбранной неинерциальной системе отсчета (в данном случае по отношению к ускоренно движущейся ракете), можно как бы «исключить» гравитационное поле. Это обстоятельство является, разумеется, другим аспектом того же принципа эквивалентности.
Поле тяготения, которое как бы появляется в ускоренно движущейся ракете, однородно по всему объему ракеты — его напряженность везде равна одной и той же величине — W. Между тем истинные гравитационные поля всегда неоднородны. Поэтому и «исключение» истинного гравитационного поля путем перехода к неинерциальной системе отсчета возможно лишь в небольших участках пространства, на протяжении которых поле меняется настолько мало, что его можно с достаточной точностью считать однородным. В этом смысле можно сказать, что эквивалентность гравитационного поля и неинерциальной системы отсчета имеет «локальный» характер.
§ 24. Кеплерово движение
Рассмотрим движение двух тел, притягивающихся друг к другу по закону тяготения Ньютона. Предположим сперва, что масса одного из тел M значительно больше массы другого тела т. Если расстояние г между телами велико по сравнению с размерами тел, то мы имеем дело с задачей о движении материальной точки т в центральном гравитационном поле, создаваемом телом М, которое можно считать неподвижным.
Простейшим движением в таком поле является равномерное движение по окружности с центром в центре поля (т. е. в центре тела М). Ускорение при этом направлено к центру окружности и равно, как мы знаем, г2/г, где v — скорость точки т. Умноженное на массу т, оно должно быть равно силе, действующей на частицу со стороны тела M: mv2 „ тМ § 24]
КЕПЛЕРОВО ДВИЖЕНИЕ
73
откуда
V=Y9T
Пользуясь этой формулой, можно, в частности, определить скорость земного спутника, движущегося в непосредственной близости от земной поверхности. Заменяя в этом
случае г на радиус Земли R и вспоминая, что ^ представляет собой ускорение силы тяжести g, получим следующее выражение для скорости спутника или так называемой первой космической скорости:
Подставляя сюда g ж 980 s, R = 6500 км, найдем
8 км —. сек
Полученная формула для v позволяет установить соотношение между радиусом орбиты г и периодом обращения по ней Т. Полагая
Мы видим, что квадраты периодов обращения пропорциональны кубам радиусов орбит. Это соотношение называется третьим законом Кеплера, по имени астронома И. Кеплера, открывшего эмпирически в начале XVII столетия по наблюдениям движения планет основные законы движения двух тел под влиянием гравитационного взаимодействия (такое движение называют кеплеровым). Эти законы (второй закон, устанавливающий постоянство секто-риальной скорости при движении в центральном поле, был рассмотрен в § 16) сыграли важную роль в открытии Ньютоном закона всемирного тяготения.
Определим теперь энергию частицы т. Ее потенциальная энергия равна, как мы знаем,
найдем
rTi __з
GM
U =
GmM
г 74
ПОЛЕ
[гл. II
„ , ,, mv
Прибавив к U кинетическую энергию —g—, найдем полную энергию частицы
г- mv2 GmM E = ---— ,
не меняющуюся с течением времени. При движении по окружности
„ GmM mv* =--,
г
и поэтому
г, mv2 GmM
E=--— =
2 2 г '
Мы видим, что при движении по окружности полная энергия частицы отрицательна. Это находится в соответствии с результатами § 13, согласно которым, если потенциальная энергия на бесконечности обращается в нуль, то движение будет финитным при E<L0 и инфинитным при 0.
Мы рассмотрели простейшее круговое движение, происходящее под действием силы притяжения г GmM
F=--^r-
Однако в таком поле движение частицы может совершаться не только по окружностям, но также по эллипсам, гиперболам и параболам. Для всех этих конических сечений один из фокусов (для параболы — единственный) находится в центре сил (в этом заключается первый закон Кеплера). Эллиптическим орбитам соответствуют, очевидно, отрицательные значения полной энергии частицы Е<С0 (так как движение финитно). Гиперболическим орбитам с уходящими в бесконечность ветвями соответствуют положительные значения полной энергии ?">0 и, наконец, при движении по параболе E=0. Это значит, что при движении по параболе скорость частицы на бесконечности равна нулю.
Используя формулу для полной энергии частицы, легко найти ту минимальную скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по параболической орбите, т. е. ушел из сферы земного притяжения. Полагая г= R в формуле
г, mv'1 GmM E = -Ti--- § 24] КЕПЛЕРОВО ДВИЖЕНИЕ 75
и приравнивая E нулю, найдем эту скорость, которая называется второй космической скоростью,
V2= Y
Сравнение с формулой для первой космической скорости показывает, что
,— KM
0, = 1/20, = 11,2-. 2,1 сек
Разъясним теперь, чем определяются параметры эллиптических орбит. Радиус круговой орбиты можно выразить через энергию частицы:
