Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
собой твердое тело). Если применить соотношение^- = —Kz
к внутренней потенциальной энергии системы, понимая при этом под Kz суммарный момент действующих на все ее частицы сил, то мы увидим, что условие неизменности потенциальной энергии при повороте замкнутой системы вокруг любой оси действительно означает равенство нулю суммарного момента сил.
§ 29. Равнодействующая сила
Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил.
Наиболее важный случай такого рода — сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение § 29]
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛА
89
сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела.
Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвольно выбранной горизонтальной оси (ось Z на рис. 5). Сила тяжести, действующая на элемент т; тела, равна mtg, а ее плечо есть координата Xi этого элемента. Поэтому суммарный момент всех сил равен
Kz = Hiigx1 + m2gx2 + ...
Равнодействующая сила по величине равна полному Весу Тела (ITl1jT jT ITl2jT ...)g, и если обозначить координату ее точки приложения через X, то тот же момент Kz запишется в виде
КZ = (In1jTtn2Ar . ..)gX. Приравняв оба выражения, найдем
v Hl1X1 + Wl2X4 -J- . . . д--j-T-.
WI1 + тг 4- ...
Но это есть не что иное, как л-координата центра инерции тела.
Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяжести.
Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма K7 моментов таких двух сил относительно любой оси Z, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на 90
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
расстояние h между направлениями действия обеих сил (плечо пары):
Kz = Fh.
Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, зависит только от этого, как говорят, момента пары.
§ 30. Гироскоп
В § 27 мы нашли проекцию Lz момента импульса тела на ось вращения. Для тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, существенна только эта проекция вектора L. Простая зависимость ее от угловой скорости вращения (Lz= IQ) приводит к тому, что и все движение имеет простой характер.
Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор L в его зависимости от вектора угловой скорости Й. Эта зависимость, однако, имеет более сложный характер: компоненты вектора L являются линейными функциями компонент Й, но направления этих векторов, вообще говоря, различны. Это обстоятельство существенно усложняет в общем случае характер движения тела.
Мы рассмотрим здесь лишь один пример движения тела со свободно ориентирующейся осью вращения — так называемый гироскоп, т. е. осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси.
При таком вращении вектор момента L тоже (как и вектор угловой скорости й) будет направлен вдоль оси тела. Это очевидно уже без вычисления, просто из соображений симметрии:' в силу осесимметричности движения нет никакого другого избранного направления, куда мог бы быть направлен вектор L.
До тех пор, пока на гироскоп не действуют никакие внешние силы, его ось будет сохранять свое направление в пространстве: в силу закона сохранения момента направление (как и величина) вектора L остается неизменной. Если же приложить к гироскопу внешние силы, его ось начнет отклоняться. Именно это движение оси гироскопа нас и будет интересовать; его называют прецессией.
Изменение направления оси гироскопа представляет собой его вращение относительно некоторой другой оси, так § ЗО]
ГИРОСКОП
91
что вектор суммарной угловой скорости уже не будет направлен вдоль геометрической оси тела. Вместе с ним не будет уже совпадать с той же осью (а также и с направлением ІІ) и вектор момента L. Однако, если основное вращение гироскопа достаточно быстро, а внешние силы не слишком велики, скорость поворачивания оси гироскопа будет относительно мала и вектор fi, ас ним и L будут все время близки по направлению к оси гироскопа. Поэтому, зная, как изменяется вектор L, мы тем самым будем знать, как приблизительно движется ось гироскопа. Изменение же момента определяется уравнением
UL
dt
= K,
Рис. 6.
где К — момент приложенных к телу сил.
Пусть, например, к концам оси гироскопа (ось 2 на
