Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а
у =-,
2 I H I
где введено обозначение a=GmM. При движении частицы
Рис. 7.
по эллипсу такой же формулой определяется большая полуось эллипса а,
а
а
2 I ? I
Малая же полуось эллипса b зависит не только от энергии, но и от момента L,
и L
O = -F= .
У^2т I E I
Чем меньше момент L, тем больше (при заданной энергии) вытянут эллипс.
Период обращения по эллипсу зависит только от энергии
и выражается через большую полуось эллипса:
4я2т
а 76
ПОЛЕ
[гл. и
До сих пор мы рассматривали случай, когда масса одного из тел M значительно больше массы другого тела т, и считали поэтому тело M неподвижным. В действительности, конечно, движутся оба тела, причем в системе центра инерции оба они описывают геометрически подобные траектории — конические сечения с общим фокусом в центре инерции. На рис. 7 изображены такие геометрически подобные эллипсы, размеры которых обратно пропорциональны массам тел. Написанные выше выражения для полуосей а и b относятся при этом к траектории «приведенной» частицы, следует лишь заменить в них т на
__ тМ т + М '
сохранив прежнее значение a=GmM. Глава III
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 25. Виды движения твердого тела
До сих пор мы изучали движения тел, которые можно было рассматривать в данных условиях как материальные точки. Теперь перейдем к изучению таких движений, при которых существенна конечная протяженность тел. При этом мы будем считать тела твердыми. Под твердым понимается в механике такое тело, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения. Такое тело выступает при движении как единое целое.
Простейшим движением твердого тела является движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Такое движение называется поступательным. Если, например, плавно двигать компас в горизонтальной плоскости, то его стрелка, сохраняя постоянное направление с юга на север, будет совершать при этом поступательное движение.
При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу.
Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Если за время dt тело поворачивается на угол dq>, то путь ds, проходимый за это время какой-либо точкой P тела, будет равен, очевидно, ds=rd<p, где г — расстояние от точки P до оси вращения. Разделив ds на dt, найдем скорость точки Р:
_ гіф 78
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
Величина одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Эта величина называется угловой скоростью тела; мы будем обозначать ее буквой Q.
Таким образом, скорости различных точек вращающегося вокруг некоторой оси твердого тела определяются формулой
V= г Q,
где г— расстояние точки до оси вращения; скорость пропорциональна этому расстоянию.
Величина Q, вообще говоря, меняется с течением времени. Если вращение происходит равномерно, т. е. с постоянной угловой скоростью, то Q можно определить, зная период вращения Ti
Вращение характеризуется направлением оси вращения и величиной угловой скорости. Их можно объединить вместе, введя вектор угловой скорости й, имеющий направление оси вращения и равный по величине угловой скорости. Из двух направлений оси вращения вектору угловой скорости принято приписывать то, которое связано с направлением вращения так называемым правилом винта, т. е. то направление, в котором ввинчивается винт (с правой резьбой), вращающийся одинаково с твердым телом.
Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела — поступательное движение и вращение — особенно важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним.
Разъясним это.на примере тела, движущегося параллельно некоторой плоскости. Рассмотрим два последовательных положения тела A1 и A2 (рис. 1). Из положения A1 в положение A2 тело можно перевести, очевидно, следующим образом. Переведем сперва тело из положения A1 параллельным переносом в положение А' так, чтобы в результате переноса какая-либо точка О тела попала в свое конечное положение. Если затем повернуть тело вокруг точки О на определенный угол ф, то оно перейдет в конечное положение A2. § 25]
ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
79
Мы видим, что общее перемещение тела складывается из поступательного движения, переводящего тело из положения A1 в положение А', и вращения вокруг точки О, окончательно переводящего тело в положение A2. Очевидно, точка О является при этом совершенно произвольной: можно с равным успехом произвести параллельный перенос тела из положения A1 в положение А", при котором какая-либо другая точка О', а не точка О, попадает в свое конечное положение, а затем сделать поворот вокруг точки О', переводящий окончательно тело в положение A2. Существенно, что при этом угол поворота будет в точности таким же, как и при повороте вокруг точки О; длина же пути поступательного перемещения точек О и О', вообще говоря, раз- a V" J/\"
