Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 6) прикладывается пара сил F7 действующих в плоскости ijz. Тогда момент К пары направлен вдоль оси х и в эту же сторону будет направлена производная dL/dt. Другими словами, момент L, а с ним и ось гироскопа отклонятся в сторону оси X.
Таким образом, приложение к гироскопу некоторой силы вызывает поворачивание его оси в направлении, перпендикулярном направлению силы.
Пример гироскопа представляет собой волчок, опертый в одной своей нижней точке. [Трением волчка об опору в следующих ниже рассуждениях мы пренебрегаем]. Волчок находится под действием силы тяжести, имеющей постоянное направление — вертикально вниз. Эта сила равна весу волчка P=Mg (М — масса тела) и приложена к его центру тяжести (точка С на рис. 7). Ее момент относительно точки опоры О по величине равен K=Pl sin 0 (I — расстояние ОС; 0 — угол между осью волчка и вертикалью) и направлен всегда перпендикулярно плоскости, проходящей через ось волчка и вертикальное направление. Под действием этого момента вектор L (а тем самым и ось волчка) будет 92
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
поворачиваться, оставаясь постоянным по величине и сохраняя постоянный угол 0 с вертикалью, т. е. описывая конус вокруг этого направления.
Легко определить угловую скорость прецессии волчка. Обозначим ее через to в отличие от угловой скорости собст-ш венного вращения волчка вок-
Cjy руг своей оси, которую обоз-
¦ начим через й0.
_____L___За бесконечно малый про-
межуток времени dt вектор L
h
-----|_---" /
получает перпендикулярное себе приращение dL = K dt, лежащее в горизонтальной плоскости. Разделив его на величину проекции вектора L на эту плоскость, мы получим угол йф, на который эта проекция повернется за время dt:
dq> = , ^ r.dt. т L sin 6
Рис. 7. Производная dy/dt есть, оче-
видно, искомая угловая скорость прецессии. Таким образом,
К
Ш - , . д .
L sin O
Подставив сюда K=Mgl sin 0 и L=/Q0 (где / — момент инерции волчка относительно его оси), получим окончательно
Mgl
OJ =
IQ п
Напомним, что вращение волчка предполагается достаточно быстрым. Мы можем теперь уточнить это условие: должно быть Q0Ssxo. Поскольку
со
Mgl
IQo
то мы видим, что указанное условие означает, что потенциальная энергия волчка в поле тяжести (Mgl cos 0) должна быть мала по сравнению с его кинетической энергией
IVs ^2)- § 31]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
93
§31. Силы инерции
До сих пор мы рассматривали движение тел по отношению к инерциальным системам отсчета. Лишь в § 23 речь шла о системе отсчета, совершающей ускоренное поступательное движение (ускоренно движущаяся ракета). Мы видели, что с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ракетой, неинерциальность системы отсчета воспринимается как появление силового поля, эквивалентного однородному полю тяжести.
Добавочные силы, возникающие в неинерциальных системах отсчета, называют вообще силами инерции. Их характерной общей особенностью является пропорциональность массе тела, на которое они действуют. Именно это свойство делает их аналогичными силам тяготения.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как происходит движение по отношению к вращающейся системе отсчета и каковы появляющиеся здесь силы инерции. Такой системой отсчета является, например, сама Земля; в силу суточного вращения Земли связанная с ней система отсчета, строго говоря, неинерциальна, хотя благодаря медленности вращения возникающие силы инерции сравнительно малы.
Для простоты представим себе, что системой отсчета является равномерно вращающийся (с угловой скоростью Q) диск, и рассмотрим простейшее движение на нем — равномерно движущуюся вдоль края диска частицу. Обозначим скорость этой частицы относительно диска через vH (индекс «н» служит для указания на то, что система отсчета неинерциальна). Скорость этой же частицы относительно неподвижного наблюдателя (инерциальная система отсчета) Vv будет равна, очевидно, сумме V11 и скорости точек края самого диска. Последняя равна Qr, где г— радиус диска. Поэтому
vK = Va+ Qr.
Легко определить ускорение Wn частицы по отношению к инерциальной системе отсчета. Так как частица равномерно движется по окружности радиуса г со скоростью V"' ТО 94
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ
[ГЛ. III
Умножив это ускорение на массу частицы т, мы найдем силу F1 действующую на частицу в инерциальной системе отсчета,
F = mw„.
Посмотрим теперь, как будет рассматривать это движение наблюдатель, находящийся на диске и считающий его неподвижным. Для него частица также равномерно движется по окружности радиуса г, но ее скорость равна Поэтому ускорение частицы относительно диска будет равно
и направлено к центру диска. Считая диск неподвижным, наблюдатель умножит Wa на массу частицы и скажет, что это произведение представляет собой силу Fn, действующую на частицу,
Fk = mwa.
Замечая, что
w„ = wH — 2QvH — Q2r, и учитывая, что mwH=F, получим
Fh = F — 2mQvB—mQ2r.
Мы видим, таким образом, что по отношению к вращающейся системе отсчета на частицу, помимо «истинной» силы F1 будут действовать две добавочные силы:—mQ2r и — 2mQvH. Первая из этих сил инерции называется центробежной, а вторая — силой Кориолиса. Знаки минус показывают, что в данном случае обе эти силы направлены от оси вращения диска.
