Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z, не проходящей через центр инерции. Кинетическая энергия этого движения есть Eltim = Y /Q2, где /—
момент инерции относительно оси Z. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью V центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью Q) вокруг оси, проходящей через центр инерции параллельно оси Z. Если а есть расстояние центра инерции от оси Z, то его скорость V=aQ. Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде
Сравнивая оба выражения, найдем
I = I0 'г Ma2.
Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции. Очевидно, что / всегда больше, чем I0. Другими словами, при заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции.
Если твердое тело движется в поле тяжести, то его полная энергия E равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим в качестве примера движение шара по наклонной плоскости (рис. 2). Потенциальная энергия шара равна Mgz, где M — масса шара, a z — высота его центра. Поэтому закон сохранения энергии имеет вид
E=-і MV2 + J I0Q2 + Mgz = const. § 27]
ВРАЩАТЕЛЬНЫЙ МОМЕНТ
83
Будем предполагать, что шар скатывается без скольжения. Тогда скорость v точки его соприкосновения с наклонной плоскостью будет равна нулю. С другой стороны, эта скорость складывается из скорости V поступательного перемещения вниз по плоскости вместе с шаром в целом и направленной в обратную сторону (вверх по плоскости) скорости точки в ее вращении вокруг центра шара. Последняя скорость равна QR, где R— радиус шара. Из равенства v=V—QR=O имеем
Q =
у_
R '
Рис. 2.
Подставив это выражение в закон сохранения энергии и
считая, что в начальный момент времени скорость шара равна нулю, найдем скорость центра инерции шара в момент, когда он спустился на расстояние h:
V =
/
2 gh
MRi
Эта скорость, как и следовало ожидать, меньше скорости свободного падения материальной точки или не вращающее гося тела (с той же высоты h), так как уменьшение потен-циальной энергии Mgh идет не только на увеличение кинетической энергии поступательного движения, но и на увеличение кинетической энергии вращения шара.
§ 27. Вращательный момент
При вращательном движении тела момент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента'вдоль этой оси (назовем ее осью Z).
Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного (ї-го) элемента 84
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
есть IniIRiVi], где Ri— радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О на оси Z, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скорость Vі касательна к этой окружности.
Разложим вектор Ri на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой (г,) — перпендикулярен ей. Тогда произведение PiiIriVi] даст как раз ту часть момента импульса, которая направлена параллельно оси Z (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы). Так как векторы г,- и Vi взаимно перпендикулярны (радиус окружности и касательная к ней), то величина произведения Ir,®,] есть просто Г -Oi, где гі — расстояние элемента mt от оси вращения. Наконец, поскольку V-Qri, то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элемента т; вдоль оси вращения равна Образовав сумму
mxr\Q + m„j\Q + ... ,
мы и получим искомую проекцию Lz полного момента импульса тела на ось Z. Эту величину называют также моментом импульса (или вращательным моментом) тела относительно данной оси.
Вынеся в написанной сумме общий множитель Q за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерции I. Таким образом, получим окончательно
L7 = IQ,
т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением и выражением mv для импульса частицы: вместо скорости V стоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции. § 28] УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
85
Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью О. Постоянство Q следует при этом из постоянства Lz в силу подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т. е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так, чтобы произведение IQ оставалось постоянным. Если, например, на вращающейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведения IQ приведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения.
