Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
лична. г ~~
Рассмотренный пример по- Рнс' 1-
казывает — и это является в
действительности общим правилом,— что произвольное движение твердого тела можно представить в виде совокупности поступательного движения всего тела со скоростью какой-либо его точки О и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку. При этом поступательная скорость (которую мы обозначим через V) зависит от того, какая именно точка тела выбрана в качестве основной. Угловая же скорость й от этого выбора не зависит: при любом выборе точки О проходящая через нее ось вращения будет иметь одинаковое направление и будет одинаковой величина угловой скорости Q. В этом смысле можно сказать, что угловая скорость Q имеет «абсолютный» характер,— можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая при этом, через какую именно его точку проходит ось вращения. Поступательная же скорость такого «абсолютного» характера не имеет.
Обычно в качестве «основной» точки О выбирают центр инерции тела. Поступательная скорость V есть при этом скорость перемещения центра инерции. Преимущества такого выбора выяснятся в следующем параграфе. 80
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
Каждый из векторов Vnfi задается значениями своих трех компонент (относительно некоторой системы координат). Поэтому всего нужно задать шесть независимых величин для того, чтобы знать скорость любой точки твердого тела. На этом основании говорят, что твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.
§ 26. Энергия движущегося твердого тела
Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто
E = —MV2
ljKHH 2 '
где V—скорость тела, a M — его полная масса. Это выражение — такое же, как если бы со скоростью V двигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки.
Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если т,-есть масса і-го элемента, а г,-— его расстояние до оси вращения, то его скорость равна Vi=TiQ, где Q — угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента
равна Y mivt и. просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела
?кнн = Y mxv\ + і- іщрі + ... = у ?a + +•••)•
Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси. § 26] ЭНЕРГИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ol
Обозначим его буквой /:
1 = 171^1 + 11X^1 + ...
Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой M и радиусом R) относн-
тельно оси, проходящей через его центр, равен I= -g- MR2;
момент инерции тонкого стержня (длины I) относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, равен I=-^Ml2.
Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде
F
ljKHH 2 "
Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения, отличаясь от него тем, что вместо скорости V стоит угловая скорость Q, а вместо массы — момент инерции. Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.
Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если в описанном в предыдущем параграфе способе разделения двух движений выбрать основную точку О в центре инерции тела. Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, и мы имеем полную аналогию с рассмотренным в § 12 разделением движения системы частиц на движение системы как целого и «внутреннее» движение частиц относительно центра инерции. Мы видели там, что на соответствующие две части разбивается и энергия системы. Роль «внутреннего» движения играет теперь вращение тела вокруг центра инерции. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем
F -ш% і iOq2 cKHH 2 ' 2 ¦ 88
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. III
Индекс «О» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.
[Следует отметить, однако, что в таком виде эта формула имеет реальный практический смысл лишь, если в процессе движения ось вращения сохраняет постоянное направление в теле. В противном случае момент инерции должен браться в разные моменты времени относительно различных осей, т. е. перестает быть постоянной величиной].
