Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим поток поля через замкнутую поверхность прямоугольного параллелепипеда (рис. 6), две грани которого параллельны заряженной плоскости, делящей
Рис. 6.
3 Л. Д. Ландау и др. 66
ПОЛЕ
[гл. Il
параллелепипед пополам (иа рисунке заштрихована часть этой плоскости, лежащая внутри параллелепипеда). Поток будет отличен от нуля только через эти грани. Поэтому согласно теореме Гаусса
2 SE = 4 яе = 4jxSo,
где S— площадь грани, а о — заряд, приходящийся на единицу площади плоскости (поверхностная плотность заряда). Таким образом,
E = 2jtct.
Мы видим, что поле бесконечной плоскости оказывается не зависящим от расстояния до этой плоскости. Другими словами, заряженная плоскость создает с каждой стороны от себя однородное электрическое поле. Потенциал равномерно заряженной плоскости является линейной функцией расстояния х от нее,
Ф = — 2пох + const.
§ 22. Гравитационное поле
Наряду с электрическим взаимодействием чрезвычайно важную роль в природе играет гравитационное взаимодействие. Это взаимодействие присуще всем телам, независимо от того, являются они электрически заряженными или нейтральными, и определяется только массами тел. Гравитационное взаимодействие заключается в том, что все тела притягиваются друг к другу, причем сила этого взаимодействия пропорциональна произведению масс тел.
Если тела можно рассматривать как материальные точки, то сила гравитационного взаимодействия оказывается обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и пропорциональной произведению их масс. Обозначая массы тел через Hi1 и т2 и расстояние между ними через г, можно записать гравитационную силу, действующую между ними, в виде
где С — универсальный коэффициент пропорциональности, не зависящий от природы взаимодействующих тел; знак минус указывает на то, что сила F является всегда силой § 22]
гравитационное поле
67
притяжения. Эта формула выражает закон тяготения Ньютона.
Величина G называется гравитационной тстоянной. Очевидно, G представляет собой силу, с которой притягиваются друг к другу две материальные точки с массами в один грамм, находящиеся на расстоянии в один сантиметр. Гравитационная постоянная имеет размерность
Чрезвычайно малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае очень больших масс. По этой причине гравитационное взаимодействие не играет никакой роли в механике атомов и молекул. С ростом массы роль гравитационного взаимодействия возрастает, и движение таких тел, как Луна, планеты, а также спутники, полностью определяется гравитационными силами.
Математическая формулировка закона тяготения Ньютона для материальных точек аналогична формулировке закона Кулона для точечных зарядов. Обе силы, как гравитационная, так и электрическая, обратно пропорциональны квадрату расстояния между материальными точками, причем роль массы в гравитационном взаимодействии играет заряд во взаимодействии электрическом. Однако в отличие от электрических сил, которые могут быть как силами притяжения, так и силами отталкивания, силы гравитационные всегда являются силами притяжения.
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона мы положили равным единице и этим определили выбор единицы заряда. Очевидно, можно было бы поступить аналогичным образом и с законом тяготения Ньютона. Именно, если положить равной единице гравитационную постоянную, то тем самым мы установили бы некоторую единицу для массы. Эта единица будет, очевидно, производной по отношению к единицам см и сек, и ее размерность по отношению к ним будет Новая единица массы представляет
[С] =
IF] [гр __ (г см сек'2) см* [mf ~ г2
CM3
г сек?
и равна
G = 6,67- IO-8 .
г сек1
3* 68
ПОЛЕ
[гл. II
собой такую массу, которая сообщает равной ей массе, находящейся от нее на расстоянии 1 см, ускорение в 1 см/сек2. Обозначая эту единицу массы через р, мы можем написать
С = 6,67-!О"8 -^1=L
г сек2 |.1 ¦ сек'г '
откуда ц= 1,5-IO7 г= 15 тонн. Ясно, что эта новая единица неудобна и поэтому ею не пользуются. Однако мы видим, что, в принципе, можно построить систему единиц, в которой единственными произвольными единицами будут только единицы длины и времени, для всех же остальных величин, включая и массу, могут быть построены производные единицы. Такая система единиц на практике не применяется, но возможность ее построения лишний раз указывает на условность системы СГС.
Имея выражение для силы гравитационного взаимодействия между двумя материальными частицами, легко найти их потенциальную энергию U. Действительно, написав общее соотношение
dU „ „ т,т0
---J— = Г = -О -,
dr г2
связывающее UnF, найдем
t/= _<?_»,
причем мы положили произвольную постоянную в U равной нулю, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль при бесконечно большом расстоянии между частицами. Эта формула аналогична формуле
fj __ eIeZ
г
для потенциальной энергии электрического взаимодействия.
Мы написали формулы для силы и потенциальной энергии гравитационного взаимодействия двух материальных точек. Но эти же формулы справедливы для сил тяготения между любыми двумя телами, если только расстояние между ними велико по сравнению с размерами тел. Для тел же сферической формы формулы справедливы при любых расстояниях между телами (в этом случае г обозначает расстояние между центрами сфер). ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
