Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому потенциал поля, создаваемого зарядом ех на расстоянии г от него, будет
Єї
ф = т-
При удалении от заряда этот потенциал убывает обратно пропорционально первой степени расстояния.
Если поле создается не одним, а многими зарядами ех, е2, . . ., то из принципа суперпозиции следует, что потенциал этого поля в какой-либо точке пространства определяется формулой
где Ti— расстояние от рассматриваемой точки до заряда е,-.
При перемещении заряда е из точки пространства, в которой потенциал имеет значение фі, в точку с потенциалом ф2 работа сил поля равна произведению заряда на 60
ПОЛЕ
[гл. II
разность потенциалов между начальной и конечной точками пути:
.412 = Є(ф! —ф2).
Точки пространства, в которых потенциал имеет одно и то же значение, образуют некоторую поверхность. Такие поверхности называются эквипотенциальными.
При перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности работа, производимая силами поля, равна нулю. Но равенство работы нулю означает, что сила перпендикулярна перемещению. Поэтому можно утверждать, что напряженность электрического поля в каждой точке пространства перпендикулярна эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Иначе говоря, силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Например, в случае точечного заряда силовыми линиями являются прямые, проходящие через заряд, а эквипотенциальными поверхностями — поверхности концентрических сфер с центром в этом заряде.
Электрический потенциал имеет размерность
[ф] = .CM'/2 -сек-1.
Величина 1 Zlf2CMlhlCeK'1 представляет собой единицу потенциала в системе СГСЭ. В системе СИ пользуются другой единицей, в 300 раз меньшей. Эта единица называется вольтом:
1 в = ^ СГСЭ ед. потенциала.
Если заряд, равный одному кулону, переходит из одной точки поля в другую, разность потенциалов между которыми равна одному вольту, то работа, производимая силами
поля будет равна 3• 109 —g = 107 эргов, т. е. одному джоулю: 1 к-в= 1 дж.
§ 20. Теорема Гаусса
Введем теперь важное понятие потока электрического поля. Для того чтобы придать ему наглядный характер, представим себе, что занимаемое полем пространство заполнено некоторой воображаемой жидкостью, скорость § 20]
ТЕОРЕМА ГАУССА
61
которой в каждой точке пространства совпадает по величине с напряженностью электрического поля. Объем этой жидкости, проходящей через какую-либо поверхность в единицу времени, и представляет собой поток электрического поля через эту поверхность.
Определим поток электрического поля, создаваемого точечным зарядом е, через сферическую поверхность радиуса г с центром в этом заряде. Напряженность поля по закону Кулона равна в этом случае Е=е/г2. Поэтому скорость воображаемой жидкости также будет равна е/г2, поток же жидкости равен произведению ее скорости на величину 4пг2 поверхности сферы. Таким образом, поток поля равен
E ¦ 4л г2 = 4ле.
Мы видим, что этот поток не зависит от радиуса сферы, а определяется только зарядом. Можно показать, что если заменить сферу любой другой замкнутой поверхностью, окружающей заряд, то поток электрического поля через нее не изменится и также будет равняться 4ле. Подчеркнем, что это важное обстоятельство является специфическим следствием того факта, что в законе Кулона фигурирует обратная пропорциональность именно квадрату расстояния.
Рассмотрим теперь поток электрического поля, создаваемого не одним, а рядом зарядов. Этот поток можно определить, используя свойство суперпозиции электрического поля. Очевидно, поток поля через, произвольную замкнутую поверхность будет равен сумме потоков, происходящих от отдельных зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Так как каждый такой поток равен заряду, умноженному на 4л, то общий поток электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, умноженной на 4я. Это положение носит название теоремы Гаусса.
Если внутри поверхности нет зарядов, или если сумма зарядов равна нулю, то поток электрического поля через эту поверхность равен нулю.
Рассмотрим узкий пучок силовых линий, ограниченный поверхностью, которая также образована силовыми линиями (рис. 3). Пересечем такой пучок или, как мы будем говорить, силовую трубку двумя эквипотенциальными 62
ПОЛЕ
[гл. II
поверхностями / и 2 и определим поток поля через замкнутую поверхность, образованную боковой поверхностью силовой трубки и эквипотенциальными поверхностями / и 2. Если внутри этой замкнутой поверхности нет зарядов, то общий поток через нее будет равен нулю. С другой стороны ПОТОК через боковую поверхность трубки также, очевидно, равен нулю; поэтому потоки через поверхности / и 2 должны быть одинаковыми. Для наглядности наш пучок силовых линий можно уподобить струе жидкости.
Рис. з. Обозначим напряженно-
сти поля в сечениях / и 2 через E1 и E2 и площади самих сечений через S1 и S2. В силу предположения об узости силовой трубки поля E1 и E2 можно считать постоянными вдоль каждого из сечений In 2. Поэтому мы можем записать равенство потоков через поверхности / и 2 в виде
