Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
L = rp sino
(где 0 — угол между р и г) и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через направления риг. Последнее условие само по себе еще не определяет полностью направления L, так как остаются две возможности — «вверх» и «вниз». Принято определять это направление так: если представить себе винт, вращаемый по направлению от г к р, то винт будет перемещаться вдоль L (рис. 15).
Величину L можно представить ен;е и в другом, более наглядном виде, если заметить, что произведение г sin 0 § 15]
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
4?
есть длина hp перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса частицы (рис. 16); это расстояние часто называют плечом импульса относительно точки О. Момент частицы равен произведению плеча на величину импульса
L = php.
Приведенное определение вектора L как раз совпадает с известным из векторной алгебры понятием векторного
произведения: вектор L, составленный по указанным правилам из векторов г и р, называют векторным произведением г и р и записывают следующим образом:
L = [rp]
или, поскольку р=ті),
L = m[rv].
Этой формулой определяется момент отдельной частицы. Моментом системы частиц называется сумма
L^ irlP1] + [r2p2] \-...
моментов отдельных частиц. Такая сумма для любой замкнутой системы остается постоянной во времени. В этом и заключается закон сохранения момента.
Обратим внимание на то, что в определении момента фи-гурирует произвольно выбранное начало О, от которого отсчитываются радиусы-векторы частиц. Хотя величина и направление вектора L зависят от выбора этой точки, но легко видеть, что эта неопределенность несущественна для закона сохранения момента. Действительно, если мы сместим точку О на некоторое заданное (по величине и направлению) расстояние а, то на эту же величину изменятся все i<3 МЕХАНИКА ТОЧКИ [ГЛ. I
радиусы-векторы частиц, так что к моменту прибавится величина
[арг] + [ар2] + ...=[а (P1 +P2 +¦¦¦)] = [аР],
где P— полный импульс системы. Но для замкнутой системы P есть постоянная величина. Мы видим, следовательно, что изменение выбора начала координат не отражается на постоянстве полного момента замкнутой системы.
Обычно принято определять момент системы частиц, выбрав в качестве начала отсчета радиусов-векторов центр инерции системы. Именно такой выбор мы и будем подразумевать в дальнейшем.
Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем
dr 1 , Г dP'
dL d , -і
ІГР] -
dt dt
Так как есть скорость v частицы, a p=mv, то первый
член есть т WVi и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во
втором члене производная есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом,
W=Irn
Векторное произведение [rFJ называют моментом силы (относительно заданной точки О); мы будем обозначать его посредством К:
K=[rF].
Аналогично сказанному выше о моменте импульса можно сказать, что величина момента силы равна произведению величины силы F на ее «плечо» hF, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы,
K = Fhr.
Таким образом, скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту действующей на нее силы:
dL — W § 15]
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
49
Полный момент импульса замкнутой системы сохраняется; это значит, что производная по времени от суммы моментов, входящих в систему частиц, равна нулю:
d // і і і \ .AL2 ,
-JfKLi ¦ L2----) --ar+df—
Отсюда следует, что
K1 +Ki+...= 0.
Мы видим, что в замкнутой системе не только сумма действующих на все частицы сил (§ 7), но и сумма моментов сил равна нулю. Первое из этих утверждений эквивалентно закону сохранения импульса, а второе — закону сохранения момента импульса.
Существует глубокая связь между этими свойствами замкнутой системы и основными свойствами самого пространства.
Пространство однородно. Это значит, что свойства замкнутой системы не зависят от ее местоположения в пространстве. Представим себе, что система частиц испытывает бесконечно малое смещение в пространстве, при котором все частицы в ней перемещаются на одинаковое расстояние в одном и том же направлении; обозначим вектор этого смещения через dR. Над t-й частицей при этом производится работа, равная F;dR. Сумма всех этих работ должна быть равна изменению потенциальной энергии системы; но независимость свойств системы от ее местоположения в пространстве означает, что это изменение равно нулю. Таким образом, должно быть
FtdR+ F2dR + ...=(Fl + F2+...)dR = 0.
Поскольку это равенство должно иметь место при любом направлении вектора dR, то отсюда следует, что должна быть равна нулю сумма сил Z71-I-Zr2+. . .
Мы видим, что происхождение закона сохранения импульса связано со свойством однородности пространства.
Аналогичная связь имеется между законом сохранения момента импульса и другим основным свойством пространства — его изотропией, т. е. эквивалентностью всех направлений в нем. В силу этой изотропии свойства замкнутой системы не изменятся при любом повороте системы как i<3
