Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
31
Из этого свойства следует и другое утверждение: работа сил поля при переносе частицы из одного положения в другое не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек переноса. Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис. 7). Предположим, что частица переводится из точки 1 в точку^ 2 вдоль кривой а и затем из точки 2 назад в точку 1 по кривой Ь. Общая работа, которая производится при этом силами поля, равна нулю. Обозначая работу буквой А, мы можем написать
^la2 +A2bl = O. Рис. 7.
При изменении направления переноса
работа, очевидно, меняет знак, поэтому из написанного
равенства следует
А\а2 — A2bl = Albz,
т. е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки перехода 1 и 2.
Так как работа сил поля не зависит от вида пути переноса, а определяется только конечными точками пути, то ясно, что она является величиной, имеющей глубокое физическое содержание. С ее помощью можно определить важную характеристику силового поля. Примем для этого какую-либо точку пространства, которую обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силами поля при переходе частицы из этой точки в какую-либо произвольную точку Р. Обозначим эту работу через — U. Величина U, т. е. взятая с обратным знаком работа при переходе частицы из точки О в точку Р, называется потенциальной энергией частицы в точке Р. Она является функцией координат х, у, г точки Р:
U = U (х, у, г).
Работа же сил поля A12 при переходе частицы из какой-либо произвольной точки 1 в точку 2 равна
A12 = U1 —- U2,
где U1 и U2 — значения потенциальной энергии в этих•32
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[гл. I
точках. Работа равна разности потенциальных энергии в начальной и конечной точках пути.
Рассмотрим две бесконечно близкие точки PmP'. Работа сил поля при переходе "частицы из точки P в точку P' будет —dU. С другой стороны, эта работа равна F ds, где ds— вектор, проведенный из P в P'; как было указано уже в §2, вектор ds совпадает с разностью dr радиусов-векторов точек P' и Р. Таким образом, мы приходим к равенству
F dr = —dU.
Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним из основных соотношений механики.
Написав F dr=F ds=Fsds, можно представить это соотношение в виде
F — s~ ds -
Это значит, что проекция силы на некоторое направление получается делением бесконечно малого изменения dU потенциальной энергии на бесконечно малом отрезке вдоль этого направления на длину ds этого отрезка. Выражение
dU „ J1
называют производной от U по направлению s.
Для пояснения этих соотношений определим потенциальную энергию в постоянном однородном поле. Примем направление силы поля F за ось г. Тогда Fdr=F dz; приравнивая это выражение изменению потенциальной энергии, получим —dU=F dz, откуда
U = -Fz 4-const.
Мы видим, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство имеет общий характер и связано с произволом в выборе исходной точки поля О, от которой отсчитывается произведенная над частицей работа. Обычно принято произвольную постоянную в выражении для U выбирать так, чтобы потенциальная энергия частицы обращалась в нуль, когда частица находится на бесконечном расстоянии от других тел.
Из формул, связывающих проекции силы с потенциальной энергией, можно сделать заключение о направлении силы. Если в некотором направлении потенциальная энер-§ 11] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 33
fdu гЛ
гия возрастает (-т- >0 1, то проекция силы на это направ-
ds
ление будет отрицательной, т. е. сила будет иметь то направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.
Так как производная обращается в нуль в точках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и минимума потенциальной энергии равна нулю.
§11. Закон сохранения энергии
Тот факт, что работа, совершаемая силами постоянного поля при переходе частицы из одной точки в другую, не зависит от вида пути, по которому происходит переход, приводит к чрезвычайно важному соотношению — закону сохранения энергии.
Чтобы получить это соотношение, напомним, что действующая на частицу сила F равна
г? dv dt
Так как проекция ускорения на направление движения равна ~, то проекция силы на это направление будет
„ dv
pS = mW
Определим теперь работу этой силы на бесконечно малом пути ds=vdt:
dA = Fsds = mv dv,
или
Таким образом работа, совершаемая силой, равна увели-
mv2 „
чению величины —2~ . Эта величина называется кинетической энергией частицы.
С другой стороны, работа равна убыли потенциальной энергии, dA=—dU. Поэтому мы можем написать равенство
— dU = d{~mv^ ,
2 Л. Д. Ландау и др.•34
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[гл. I
т. е.
t/ + y/да2) = 0.
Обозначая стоящую здесь сумму буквой Е, имеем, следовательно,