Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Курс общей физики. Механика и молекулярная физика" -> 13

Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика — МГУ, 1962. — 405 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfiziki1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 136 >> Следующая


РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

31

Из этого свойства следует и другое утверждение: работа сил поля при переносе частицы из одного положения в другое не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек переноса. Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис. 7). Предположим, что частица переводится из точки 1 в точку^ 2 вдоль кривой а и затем из точки 2 назад в точку 1 по кривой Ь. Общая работа, которая производится при этом силами поля, равна нулю. Обозначая работу буквой А, мы можем написать

^la2 +A2bl = O. Рис. 7.

При изменении направления переноса

работа, очевидно, меняет знак, поэтому из написанного

равенства следует

А\а2 — A2bl = Albz,

т. е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки перехода 1 и 2.

Так как работа сил поля не зависит от вида пути переноса, а определяется только конечными точками пути, то ясно, что она является величиной, имеющей глубокое физическое содержание. С ее помощью можно определить важную характеристику силового поля. Примем для этого какую-либо точку пространства, которую обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силами поля при переходе частицы из этой точки в какую-либо произвольную точку Р. Обозначим эту работу через — U. Величина U, т. е. взятая с обратным знаком работа при переходе частицы из точки О в точку Р, называется потенциальной энергией частицы в точке Р. Она является функцией координат х, у, г точки Р:

U = U (х, у, г).

Работа же сил поля A12 при переходе частицы из какой-либо произвольной точки 1 в точку 2 равна

A12 = U1 —- U2,

где U1 и U2 — значения потенциальной энергии в этих •32

МЕХАНИКА ТОЧКИ

[гл. I

точках. Работа равна разности потенциальных энергии в начальной и конечной точках пути.

Рассмотрим две бесконечно близкие точки PmP'. Работа сил поля при переходе "частицы из точки P в точку P' будет —dU. С другой стороны, эта работа равна F ds, где ds— вектор, проведенный из P в P'; как было указано уже в §2, вектор ds совпадает с разностью dr радиусов-векторов точек P' и Р. Таким образом, мы приходим к равенству

F dr = —dU.

Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним из основных соотношений механики.

Написав F dr=F ds=Fsds, можно представить это соотношение в виде

F — s~ ds -

Это значит, что проекция силы на некоторое направление получается делением бесконечно малого изменения dU потенциальной энергии на бесконечно малом отрезке вдоль этого направления на длину ds этого отрезка. Выражение

dU „ J1

называют производной от U по направлению s.

Для пояснения этих соотношений определим потенциальную энергию в постоянном однородном поле. Примем направление силы поля F за ось г. Тогда Fdr=F dz; приравнивая это выражение изменению потенциальной энергии, получим —dU=F dz, откуда

U = -Fz 4-const.

Мы видим, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство имеет общий характер и связано с произволом в выборе исходной точки поля О, от которой отсчитывается произведенная над частицей работа. Обычно принято произвольную постоянную в выражении для U выбирать так, чтобы потенциальная энергия частицы обращалась в нуль, когда частица находится на бесконечном расстоянии от других тел.

Из формул, связывающих проекции силы с потенциальной энергией, можно сделать заключение о направлении силы. Если в некотором направлении потенциальная энер- § 11] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 33

fdu гЛ

гия возрастает (-т- >0 1, то проекция силы на это направ-

ds

ление будет отрицательной, т. е. сила будет иметь то направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Так как производная обращается в нуль в точках, где функция достигает максимума или минимума, то сила в местах максимума и минимума потенциальной энергии равна нулю.

§11. Закон сохранения энергии

Тот факт, что работа, совершаемая силами постоянного поля при переходе частицы из одной точки в другую, не зависит от вида пути, по которому происходит переход, приводит к чрезвычайно важному соотношению — закону сохранения энергии.

Чтобы получить это соотношение, напомним, что действующая на частицу сила F равна

г? dv dt

Так как проекция ускорения на направление движения равна ~, то проекция силы на это направление будет

„ dv

pS = mW

Определим теперь работу этой силы на бесконечно малом пути ds=vdt:

dA = Fsds = mv dv,

или

Таким образом работа, совершаемая силой, равна увели-

mv2 „

чению величины —2~ . Эта величина называется кинетической энергией частицы.

С другой стороны, работа равна убыли потенциальной энергии, dA=—dU. Поэтому мы можем написать равенство

— dU = d{~mv^ ,

2 Л. Д. Ландау и др. •34

МЕХАНИКА ТОЧКИ

[гл. I

т. е.

t/ + y/да2) = 0.

Обозначая стоящую здесь сумму буквой Е, имеем, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed