Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если массы сталкивающихся частиц одинаковы, то законы сохранения приобретают вид
V1 = V1 + V2,
v\ = V12 + v?.
Первое из этих соотношений показывает, что векторы ^1, v[ и v'2 образуют треугольник, а из второго соотношения следует, что этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой ^1. Таким образом, при столкновении частиц с одинаковыми массами, они разлетаются под прямым углом (рис. 11).
Рассмотрим далее «лобовое» столкновение двух частиц. В результате та- рнс. ц кого столкновения обе частицы будут двигаться вдоль одной прямой, совпадающей с направлением скорости налетающей частицы. В этом случае мы можем заменить в законе сохранения импульса векторы скоростей их величинами, т. е. записать его в виде
m2v2 = m1(v1 — v'1).
Присоединив сюда закон сохранения энергии, согласно которому
m2v'22 = m1(vl — v[2),
можно выразить о,' и V2 через V1. Разделив второе уравнение на первое, получим V2 = V1-^-V1, и, следовательно,
m,—т, , 2т.
o1=-—-o1, o2=-г^р,.
Iti1-Vm2 1 Iti1-Vm2 1
Налетающая (первая) частица будет продолжать двигаться в том же направлении или же изменит свое направление на обратное, в зависимости от того, больше или меньше ее масса Hi1 массы первоначально покоившейся частицы тг. i<3
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[ГЛ. I
Если массы тх и т2 одинаковы, то v[ = О, V2= V1, т. е. обе частицы как бы обмениваются своими скоростями. Если Tn^m1, то V1 = —V1 и V2=O.
В общем случае столкновение удобно рассматривать в системе центра инерции сталкивающихся частиц. В этой системе суммарный импульс частиц как до, так и после столкновения равен нулю. Поэтому, если обозначить импульсы первой частицы до и после столкновения через р и р', то импульсы второй частицы до и после столкновения будут —р и —р'.
Далее, приравнивая суммы кинетических энергий частиц до и после столкновения, мы найдем, что должно быть р2 = р'2, т. е. величина импульсов частиц остается неизменной. Таким образом, единственное, что происходит при столкновении,— это поворот импульсов частиц, изменение их направления без изменения величины. Вместе с импульсами таким же образом меняются скорости обеих частиц — они поворачиваются, не меняя величины и оставаясь взаимно противоположными, как это изображено на рис. 12 (индекс «нуль» у скоростей стоит для указания на то, что они относятся к системе центра инерции).
Что касается угла, на который происходит поворот скорости, то он не определяется одними только законами сохранения импульса и энергии и зависит от конкретного характера взаимодействия частиц и от их взаимного расположения при столкновении.
Для выяснения характера изменения скоростей в исходной или, как говорят, в лабораторной системе отсчета (в которой одна из частиц до столкновения покоилась) применим следующий графический прием. Построим вектор 01, равный скорости vU) первой частицы в системе центра инерции (рис. 13). Эта скорость связана со скоростью W1 той же частицы в лабораторной системе отсчета (являющейся в то же время относительной скоростью обеих частиц) равенством ^io = fi— V, где
у__ HI1V1-VmzV2
ml + TO2 mI+ т\
V1 § И]
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
45
Рис. 14.
есть скорость центра инерции. Произведя вычитание, получим формулу
Скорость первой частицы поел ся поворотом скорости г»10 на некоторый угол 0, т. е. может изображаться любым радиусом Ol' окружности, начерченной на рис. 13. Для перехода к лабораторной системе отсчета нужно прибавить ко всем скоростям скорость центра инерции V. На рис. 13 она
изображается вектором АО.
Вектор Al совпадает тогда со скоростью V1 налетающей частицы до столкновения, а
столкновения ®j0получает -
Рис. 13.
вектор A l' даст искомую скорость той же частицы после столкновения. Аналогичное построение можно сделать для скорости второй частицы.
На рис. 13 предполагается, что Zn1Cm2, так что точка А
лежит внутри окружности. При этом вектор Al', т. е. скорость V1, может иметь любое направление. •52
МЕХАНИКА ТОЧКИ
[гл. I
Если же m1>m2, то точка А лежит вне окружности (рис. 14). В этом случае угол ф между скоростями частицы до и после столкновения (в лабораторной системе) не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего случаю, когда прямая Al' касается окружности. При этом сторона Al' треугольника AVO будет перпендикулярна стороне OV, так что
Ol' т2 sinqw= =.
Заметим также, что скорость частицы после столкновения не может быть меньше некоторого минимального значения, достигаемого, когда точка V на рис. 13 (или на рис. 14) диаметрально противоположна точке 1. Этот случай соответствует лобовому столкновению частиц и минимальное значение скорости равно
§15. Момент импульса
Помимо энергии и импульса, для всякой замкнутой системы сохраняется еще одна векторная величина, называемая моментом импульса или просто моментом. Эта величина складывается из моментов отдельных материальных точек, которые определяются следующим образом.
Пусть материальная точка имеет импульс р, а ее положение относительно некоторого произвольного начала отсчета О определяется радиусом-вектором г. Тогда момент L этой материальной точки определяется как вектор, по величине равный
