Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
T(Z)T(I-Z):
SinrrZ
получаем:
Следовательно:
sinrtZ
Г (Z) =
Г(1—<);
— I Vt-1 ev dv — чї—--.
2га J T(I-Z)
Таким образом мы получаем для постоянной с значение:
rfi 1 1 \ 2
2т 2х
(1)
и находим, наконец, для J1 (z) выражение:
г
AM
а тЬу
2шГ
1)
(18)
Это выражение имеет место для всех значений X за исключением
где п есть целое рациональное число, большее или равное нулю. Для функций Ганкеля имеем соответствующие формулы:
Hi(Z):
Hl(Z) = -
TTz(I)'
х-±
- 1) 2 dZ,
т
(18') 460
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Если Si ().) >--2 > то из формулы (18) можно вывести часто употребляемую формулу:
AM = -TjT-?—TV (I)' I tstC-P)'1'(191
г(уМ»+Ї) J
-1
Полагая S= sinт, получаем при условии 9? ().)— ~ формулу:
jX И = /і \ V-Г\ (f) \ cos (z sin V (cos т)П aT¦ (20>
г(})г(*+т)
¦6. Разложение- бе'et елевых функций в степенные
J (z)
ряды. Можно получить разложение в степенной ряд функции 1^k ,
однозначной и регулярной во всей' плоскости г, элементарным путем, если подставить, как мы это делали в гл. V, в диференциальное уравнение (2) ряд:
оо
и (z) = Zx a^z' о
и последовательно определять коэфициенты ?v. Но соответственно нашему ходу рассуждений мы здесь получим разложение в степенной ряд из интегральных выражений.
Мы исходим Из формулы (18) и разлагаем функцию е'л в степенной ряд; при этом, чтобы иметь право применять эту формулу, мы. предполагаем, что X отлично от п jC (где " = 0> 2, ... ). Так как этот
ряд сходится равномерно в любой конечной области ?, то мы можем почленно интегрировать и получаем:
rGГ
При вычислении интегралов
IiMi1-1)1"!^'
J'
мы примем во. внимание, что мы имеем дело с аналитическими функциями от X и что поэтому достаточно определить эти функции для всех § 2 Функции Бесселя 461
_і*_*
значений \ где 9? (к) ]> 0. В этом случае мы можем стянуть путь интегрирования в отрезок - 1 ^ 1, который пробегается с обеих сторон.
Значение подинтегрального выражения равно: споава над действительной осью и слева под ней:
е
'( -27C(I-P) 2,
справа под действительной осью и слева над ней:
J\ х-4
е (Х-"2КЧ1— СЯ) 2-,
и - следовательно:
J С" (С8 — 1)Х dZ = — 2isin тг {l - ~ ) j С" (1 - Р)Х~7 dZ.
Я —1
Интеграл, стоящий в правой части, обращается в нуль при нечетном Щ при четных значениях имеем:
l)*~2dC=>4tsinTt(x-f I) j S2"(1
я о
Путем подстановки S2 = к получаем:
к о
Интеграл в правой части является эйлеровым интегралом нервого рода Из известного соотношения
і
В (Р, д) = \х (1-*)я-г dx= ГМГф
о
следует:
к
г. ^>лг(»+1)г(н4)
= 21 sinn (/ + у) -
1> + Х-Н)
Но Г (х) Г (1 — х) = —-—, следовательно: sinn«
Tt
462
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Таким образом получаем:
^ г("+4)
С»« (P-I) 2^ = 21«-^- - ,
г(і—Х)Г(« + Х+1)
в частности при л = О:
г(т)
х-1
.(С2 — !) -2 dr = 2ni
г (1-х) га+1)
Подставляя найденные значения в наш ряд для Jx(Z)1 полу-^м:
М)
или, ввиду того что
'(•+тЬ^ф.
я=0 .
1
Коэфициенты- j ^ ие обращаются в. нуль, если X не является целым числом. Если X целое число, TC
г(,+\+іГ° при "+^1^0'
1 1 при /г + Х+1>0.
Г(« + Х+1.) (« + X)!
Сделанное раньше допущение, что X ф п + — j оказывается ненужным для справедливости разложения (21), так как этот ряд равномерно сходится и при 1 = л -)- -2 >¦ а A (z)> как мы Уже видели, представляет аналитическую функцию от X.
j iz)
Так как ряд в формуле (21) сходится при всех значениях Z1 то ¦ ^x ,
представляет целую трансцендентную функцию от Z1 если только он не сводится к многочлену или постоянной. Но последнее невозможно, так как P(«+X-f 1) представляет конечное число за исключением^ тех случаев, когда X есть целое отрицательное число, но и тогда в -ряду §2
ФункЦчи Бесселя
463
исчезает только конечное число членов, потому что коэфицнент при г2" при достаточно больших значениях п отличен от нуля; следовательно,
ряд для в0 всяком случае содержит бесчисленное мнбжество отлич-
ных от нуля членов.
Из формулы (21) непосредственно ясно, что функция Jy (z) имеет при действительных значениях X и z действительные значения, так как гамма-функция имеет действительные значения при действительных значениях аргумента.
7. Соотношения между бесселевыми функциями. Мы вывели для бесселевых функций разложение в степенной ряд и получили для них выражения с помощью интегралов; теперь мы перейдем к выводу некоторых общих свойств этих функций, исходя из их выражений в виде интегралов. Из формулы (см. стр. 453)
L
где L есть путь интегрирования, изображенный на черт. 11 (стр: 453), следует:
«-i.lL-tH.-S
±.JLf
2х 2т J
L
е ivdv.
Диференцируем обе части по z2, причем в правой части будем ди-ференцировать под знаком интеграла:
_ * J2Jz) 2 J_ с v-f;
d(z*)k Zx 2х 2та J V 4V )
L
Мы имеем право диференцировать под знаком интеграла, так как вдоль пути интегрирования L имеет место неравенство \v ^ 1 и вместе с тем при IZI h функция
