Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Из аксиомы I при варьировании по 10 гравитационным потенциалам gvv следуют 10 дифференциальных уравнений Лагранжа
dV'gH 2 д dV*н -
dgixv ZJ dwk
+ ЗтїйїГ-5^-O (t1' v=l. 2, 3, 4), (4)
а при варьировании по 4 потенциалам электродинамики qs — 4 дифференциальных уравнения Лагранжа
jWl-I1-S7jWl^ 0=1,2,3,4). (5)
k
Для краткости обозначим левые части уравнений (4) и (5) символами
JXV И [Vg H]h.
Будем называть уравнения (4) основными уравнениями гравитации, а уравнения (5) — основными уравнениями электродинамики или обобщенными уравнениями Максвелла. На основании теоремы I четыре уравнения (5) можно рассматривать как следствия уравнений (4), т. е. непосредственно на основании этой математической теоремы можно утверждать, что в указанном смысле явления электродинамики представляют собой эффекты гравитации. В этом выводе я усматриваю простое и совершенно неожиданное решение проблемы Римана, первым начавшего теоретические изыскания относительно взаимосвязи между тяготением и светом.
Далее мы воспользуемся тем, что, как легко доказать, если обозначить через pj (/ = 1, 2, 3, 4) произвольный контравариантный вектор, то величина
136 Д. Гильбрет
представляет собой симметричный контравариантный тензор, а величина
Pi = h (QisPs+ QsPb
S
есть ковариантный вектор.
Для дальнейшего анализа мы докажем две математические теоремы, формулируемые следующим образом.
Теорема II. Если J — инвариант, зависящий от gj^, gfg,
Qs, Qsk, то Для любого произвольного контравариантного вектора ps тождественно по всем аргументам выполняется равенство
у (JL- AgIiV + Л_ A^v д »V \
dJ_ л _ , 9J
Qs
где
Ag»V = S №тРІ + gVmPm),
771
Л JLiv UV т I OAgixv
Agr =~2jgrnPi +—^5J-,
т
Л JLiv Xi /Ltv m , (Liv т , (Liv Шч , O2Ag^
Aglk = — 2j (Sm Plk + glmPk + gkm Pl ) + дщ ^fe т
^Qs= — У} QmPГ,
т
^Qsk= '
dwk ' т
Теорему II можно сформулировать и иначе. Если, как и раньше, J — инвариант, a ps — произвольный вектор, то выполняется тождество
I1 ^r Ps=pj^ (6)
S
причем
P=Pg+Pq,
р.- 2 Tir
JLl, V, I, k 1 LR
It k ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ 137
где используются обозначения
UV др^ ^v _ П _ дР1
Доказывается тождество (6) просто: оно, очевидно, справедливо для постоянного вектора р\ а следовательно, ввиду своей инвариантности справедливо и вообще.
Теорема III. Пусть J — инвариант, зависящий только от компонент gw и их производных, а через []/ gJ]^, как и прежде^ обозначены вариационные производные от У gJ по Тогдау если — любой контравариантный тензор, то величина
1
Vg
JLl, V
также будет инвариантом; если подставить в эту сумму вместо стандартный тензор и написать
S IVg J]^ Pliv=Tl (isp'+ilpi),
JLl, V S, I
где конструкции
h =
JLl, V
is= S IKiZUrfv,
m-
зависят только от gw и их производных, то
^ дії
dw\ '
(7)
причем данное уравнение выполняется тождественно для всех аргументов, а именно для и их производных.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим интеграл
J J Y§ ^co, dco = dwi dw\ dw3 dw±,
по конечной области четырехмерного мира. При этом вектор ps должен вместе со своими производными обращаться в нуль на трехмерной границе этой мировой области. Поскольку P = Pg, из равенства (13) следует, что
MK*/) = 2-?^.
S
откуда
J Ps(JVg)do) = 0, 138 Д. Гильбрет
я по правилу построения производной Лагранжа и
j S Wl /UPliv^ = O.
й, V
Вводя, наконец, в это тождество величины is и i[. получаем
ді1
і
чем и доказывается наша теорема.
Теперь важнее всего определить понятие энергии и вывести закон ее сохранения, опираясь лишь на аксиомы I и II. Для этого мы сначала определим
P (VvH)- V ( і dyr'gH ^v і ^A
Здесь дНIdgbi — смешанный тензор четвертого порядка; полагая
G
находим, что величина
CKs
и
Г/сої а _
gn° (gkap +gpok - gkpo),
«•- S (8)
\i, V, k KL
представляет собой контрагредиентный вектор.
Построим с помощью этих конструкций выражение
".(VW-S-MSi.
дщ I
IiV
которое уже не содержит вторых производных Pkl и поэтому может быть представлено в виде
Vi 2 (Btivp^ + Buv/T),
\i, V, k
где величина
Rfe-V ( дН__д дН дН fl[i \ дН (lvX
^ " , ' dWl dgft ^ Р ' dg$ \ P J
Р, L
вновь является смешанным тензором. ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ 139
Сконструируем теперь вектор
^1=Sizv (9)
[xt V
и получим тогда
P8 <К*я)-2 n^m= 2 (IO)
і V
В то же время
k, I
производная дНIdqki есть тензор, а поэтому величина
k
представляет собой контрагредиентный вектор. Соответственно этому, как и ранее,
2 (12)
Если теперь учесть основные уравнения (4) и (5), то, сложив (10) и (12), найдем
р (VlH) = I dV1{ald^l+cl).
dwi
I
Тогда
р (У gH) = у gPH+н 2 P^ =
|Ы, V
dVg
-VsPH+H^^f+V-gPi),
откуда, в силу тождества (6),
pwm-vi^j-+
+"2 (-^+^)-2^- (13) 140 Д. Гильбрет
Тем самым мы получили, наконец, инвариантное уравнение
I
Примем теперь во внимание, что величина
дН дН dqik Чы
является антисимметричным контравариантным тензором. Поэтому величина
