Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Функция Гамильтона H в общем случае, таким образом, имеет вид
TT ds
Я=-т1F =
= —т
VgilX21+. . . + 2gI2ZiZ2 + ... + ZglIkZi + ... + ?44. (5) ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 117
Из соответствующих уравнений Лагранжа
d / дН \
dt u j
дН \ дН г\ /лч
= 0 И т. Д. (о)
дх
сразу получаются выражения для импульса I материальной точки и силы R, действующей на нее со стороны гравитационного поля:
T ___ ™ #11^1+ ?12^2 + ^13^3 + ^14 _
Ix- —т -
dt
= т Sndx1 + g12 dx2 + g13 dx з + gi4 dx± ^v
ds ' ^ *
2 "IST" da^ c^v
ft*=--Ym dTdi - Tm 2і~дїГЧГ dt • lo)
HV
Далее, для энергии E материальной точки получаем
v дх '
В обычной теории относительности допускаются только линейные ортогональные преобразования. Мы покажем, что для описания воздействия гравитационного поля на материальные процессы можно составить уравнения, ковариантные относительно произвольных преобразований.
Прежде всего, исходя из роли, которую играет ds в законе движения материальной точки, мы можем заключить, что интервал ds должен быть абсолютным инвариантом (скаляром); отсюда следует, что величины g^v образуют ковариантный тензор второго ранга х), который мы будем называть ковариантным фундаментальным тензором. Последний определяет гравитационное поле. Далее, из формул (7) и (9) следует, что импульс и энергия материальной точки совместно образуют ковариантный тензор первого ранга, т. е. ковариантный вектор 2).
г) См. часть II, § 1.
2) См. там же. 118 А. Эйнштейн, М. Гроссман
§ 3. ЗНАЧЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ТЕНЗОРА ^v ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
Из сказанного ранее можно сделать вывод, что между пространственно-временными координатами x11 х21 х3, х4 и результатами измерений, полученными с помощью масштабов и часов, не существует такой простой связи, как в обычной теории относительности. По отношению ко времени это обнаружилось уже для статического гравитационного поля 1J. Поэтому возникает вопрос о физическом смысле (принципиальной измеримости) координат
^l? ^2' ^Sj ^4*
Заметим к тому же, что ds следует понимать как инвариантную меру расстояния между двумя соседними пространственно-временными точками. Поэтому интервал ds должен также иметь физический смысл независимо от выбранной системы отсчета. Предположим, что ds есть «естественно измеренное» расстояние между двумя пространственно-временными точками; под этим мы будем понимать, что непосредственная окрестность точки (^1, X31 х^) определяется в координатной системе бесконечно малыми переменными dxXl dx2l dx3l dx±. Представим себе, что вместо последних линейным преобразованием вводятся новые переменные ^hi dl2, dl3l так что выполняется равенство
« + dl\ + dll - dl*.
При этом преобразовании ^v следует считать постоянными; вещественный конус ds1 = 0 оказывается стянутым к своей оси. Тогда в этой элементарной dg-системе справедлива обычная теория относительности, а расстояния и промежутки времени имеют в этой системе такой же физический смысл, как и в обычной теории относительности, т. е. ds2 есть квадрат четырехмерного расстояния между двумя бесконечно близкими точками, измеренного при помощи неускоренного в системе dl твердого тела и покоящихся в этой системе единичных масштабов и часов.
Отсюда видно, что при данных dx^ dx2, dx з, dx± соответствующее этим дифференциалам естественное расстояние можно измерить только в том случае, если известны величины g^v, определяющие гравитационное поле. Это же можно выразить так: гравитационное поле влияет на измерительные тела и часы вполне определенным образом.
Из основного равенства
ds2 =з 2 dxy. dxv
См., например, Einstein Л., Ann. d. Phys.» 35, 898 (1911). ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 119
видно, что для установления размерности величин ^jav И Xv требуется еще одно условие. Величина ds имеет размерность длины. Условимся, что Xv (в том числе я4) также имеют размерность длины; тогда величины ^v будут безразмерными.]
§ 4. ДВИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕСВЯЗАННЫХ МАСС В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
Для вывода закона движения непрерывно распределенных несвязанных масс вычислим импульс и пондеромоторную силу на единицу объема и применим затем закон сохранения импульса.
Для этого сначала вычислим трехмерный объем V нашей материальной точки. Рассмотрим бесконечно малый (четырехмерный) отрезок пространственно-временной траектории нашей материальной точки. Объем этого отрезка есть
^JJJ dx і dx2[dxz dx 4» V{dt.?
Если вместо dx ввести естественные дифференциалы d?, причем измерительный масштаб предполагать покоящимся относительно материальной точки, то получим
J JJ ^1?? = ^,
т. е. «покоящийся объем» материальной точки. Далее,
J d?4 = ds,
где ds имеет тот же смысл, что и выше.
Если дифференциалы dx связаны с d| соотношениями
Лх^шл 2 <*nadg0v
о
то
(J J J ^2 ^3 ^4=и И ?:?:?) ^
или
V dt = V0 ds* I a00 |.
Однако, так как ds2 = 2 О» dx» dx4 = Д dip = dl] + dg + dg - dg,
то между определителем
S = I ?uv I, 120 А. Эйнштейн, М. Гроссман
