Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
есть контравариантный вектор, удовлетворяющий, очевидно, тождеству
X
Определим теперь вектор энергии как
el = Hp1 — а1 — Ъ1 — с1 — dl, (15)
т. е. как контравариантный вектор, который, однако, линейно зависит от произвольного вектора ps, тождественно удовлетворяя при любом выборе этого вектора ps инвариантному уравнению сохранения энергии
I
Что же касается мировой функции Я, то для ее однозначного определения требуются дополнительные аксиомы. Если в уравнения гравитации могут входить лишь вторые производные потенциалов gwy то функция Я должна иметь вид
Я = К + L,
где К — инвариант, следующий из тензора Римана (скалярная кривизна четырехмерного многообразия):
K = 2 g^K^
JJ,, V
+2({?}Г;МП{1;}).
к, Я ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ 141
a L — функция только переменных ^v, gfv, qs и qsk. В дальнейшем мы, кроме того, примем для простоты, что L не зависит от Применим теперь теорему II к инварианту L и получим
2 ^r (g»mPi+- 2 fr imp? -
ii, v, т S, т
dgHV V6 гт і 6 /J dq
s
dL
dQsk
S -Sr ( w?+ЫГ+«) = (16)
st k, m
Приравняв слева нулю коэффициенты при psfe, мы придем к уравнению
I dL , dL \ _0
или
+ ^ = (17)
Это означает, что производные потенциалов электродинамики могут встречаться лишь в комбинации
Mhs = qSk — Qks-
Отсюда мы видим, что при наших предположениях инвариант Ly кроме потенциалов и qs, может зависеть лишь от компонент антисимметричного инвариантного тензора
M = (Mks) = Rot (q9)9
т. е. от так называемого электромагнитного шестивектора. Этот вывод, которым лишь и обусловлен характер уравнений Максвелла, оказывается здесь в сущности следствием общей инвариантности, т. е. вытекает из аксиомы II.
Приравнивая в левой части тождества (16) нулю коэффициенты при Pfn1 получаем с учетом уравнения (17)
2 2 -S^m - -^r^- 2IWZMvs=0 ^=1- 2>3' 4>- <18>
M- S
Уравнение (18) позволяет существенно преобразовать электромагнитную энергию, т. е. ту часть вектора энергии, которая получается из L. Она следующим образом конструируется из выражений (11), (14) и (15):
Tn1-V дЬ и__L-V д П d^b lllL\n»n\
h k, s 142 Д. Гильбрет
В силу уравнения (17) и с учетом уравнений (5) это дает
з И-Wj^--I-*) <19>
s, к
(б! = О, 1фз; 61--=1), т. е. с учетом (18) —
-Sij^W- (20>
Vg dg»*
M-, S
На основании уравнения (22), выводимого ниже, отсюда можно, в частности, усмотреть, что электромагнитная энергия, а вместо с ней и полный вектор энергии е1 могут быть выражены только через К, т. е. в них входят лишь компоненты ^v и их производные, но не входят компоненты qs и их производные. Если в выражении (19) перейти к пределу при
ftiv = 0 (fx =?v),
^rM-Jbl = 1»
то результат будет в точности совпадать с тем, который был установлен Ми в его электродинамике. Таким образом, электромагнитный тензор энергии Ми есть не что иное, как общеинвариантный тензор, получающийся при дифференцировании инварианта L по гравитационным потенциалам ^v, если в нем совершить указанный предельный переход. Данное обстоятельство явилось для меня первым указанием на необходимую тесную связь между общей теорией относительности Эйнштейна и электродинамикой Ми и придало мне уверенность в справедливости развитой здесь теории.
Остается еще показать непосредстенно, что в установленном выше смысле обобщенные уравнения Максвелла (5), полученные выше, следуют из уравнений гравитации (4), если принять
Я = К + L. (21)
Переходя к введенным выше обозначениям для вариационных производных по ^v, напишем на основании равенства (21) уравнения гравитации в виде
W'gKU+^^ = 0. (22)
Первый член здесь таков:
IVgKU = Vg (к»*—^Kgllv), ОСНОВАНИЯ ФИЗИКИ 143
что ясно без вычислений, если учесть, что К — единственный инвариант, a Kliv — единственный (кроме ^v) тензор второго порядка, которые можно построить только из компонент ^v и их
IHV LlV
первых И вторых производных gk и gkl .
Мне представляется, что полученные таким образом дифференциальные уравнения гравитации согласуются с выдвинутой Эйнштейном в его последних сообщениях [2] грандиозной общей теорией относительности.
Если теперь обозначить вариационные производные от |/ gJ по потенциалам электродинамики qh через
dVgj ъ д dVgJ
[VgJln
dqh dwk dqhk
k
то, в силу равенства (21), основные уравнения электродинамики примут вид
WgiAh-O. (23)
Так как инвариант К зависит только от gw и их производных,
согласно теореме III, должно тождественно выполняться уравнение (7), причем
І.= S (24)
JJ,, V
^ = — 2S [VgKUg^ 01 = 1,2,3,4). (25)
JX
Если учесть соотношения (22) и (25), то величина (20) принимает вид — iylVg- Дифференцируя по Wm с суммированием по яг, получаем на основании формулы (7)
т S
+ 2(^(^1-+2^7^) +
т S
S
+ 2(1^-^)^+2??
sm Wm S1 т
так как
144 Д. Гильбрет
2 IKiU-^
^sm Г 6 ,S
т
Примем также во внимание, что ввиду свойства (17)
ЛП d2 d VgL
^J dwm dws dqms Ш, s
и тогда слагаемые можно сгруппировать следующим образом: dVgL , V / д
