Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Xeiiv = Tliv. (13) 126 А. Эйнштейн, М. Гроссман
Для лучшего обозрения этих уравнений введем следующее сокращенное обозначение:
о а v / AgTp Aytp 1 dgXp дуХр \
a?xp
Назовем «контравариантным тензором энергии-натяжений гравитационного поля». Взаимный ему ковариантный тензор обозначим через ^v:
о * Xl Idg^ 0Vxp 1 Agrp дуХр \ a?xp
Для операций дифференцирования, выполняемых над фундаментальными тензорами Ypiv или ^v, введем следующие обозначения:
Л / ч xi 1 а / -¦ г- ayplvX Ay^at AYvp /л г\
V S w
a? " ° a?xp
дЄ,
a?
дха дх$ *
Z>„fe)_2 < .?(^=5-?:)-
rfO V о
= + (12а)
(16>
a?xp
Каждый из этих операторов порождает тензор того же ранга (относительно линейных преобразований).
С этими сокращенными обозначениями тождество (12) принимает вид
Agpiv , 2 ^J у 6 ' дха
JLlV |XV
или также
E^tK^-V^v-HU^TSV^i — i-^v^-xW- (126)
JLlV JXV
Написав соотношения (10) и (12а) соответственно для вещества и для гравитационного поля в виде
(10).
JLlV JLlV
it.
JLlV
= (12=).
|J,V JLlV
.9Jl
2x ^J ' " ' dx{
MV ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 127
мы видим, что тензор ^piv энергии-натяжений гравитационного поля входит в соотношение, выражающее закон сохранения для гравитационного поля, совершенно таким же образом, как и тензор ©nv материального процесса в соотношение закона сохранения для этого процесса. Это обстоятельство весьма примечательно, если учесть различие вывода этих уравнений.
Из соотношения (12а) следует выражение для дифференциального тензора, входящего в уравнение гравитации:
IVv = AlivJ(Y)-Xd14v (17>
Следовательно, уравнения гравитации (11) принимают вид
Auv(Y) = Kfeilv + ^. (18)
Эти уравнения удовлетворяют требованию, по нашему мнению, обязательному для релятивистской теории гравитации; именно, они показывают, что тензор гравитационного поля ^piv является источником поля наравне с тензором материальных систем Исключительное положение энергии гравитационного поля по сравнению со всеми другими видами энергии привело бы к недопустимым последствиям.
Складывая соотношения (10) и (12а) и принимая во внимание уравнение (18), находим
2^(/^-^(^ + ^)) = 0 (а=1, 2, 3, 4). (19)
JLlV
Отсюда видно, что соотношения для законов сохранения справедливы для вещества и гравитационного поля, вместе взятых.
Выше мы отдавали предпочтение контравариантным тензорам, поскольку контравариантный тензор энергии-натяжений для движения несвязанных масс выражается особенно просто. Однако полученные уравнения можно столь же просто выразить и через ковариантные тензоры. В этом случае вместо в^ мы должны взять в качестве тензора энергии-натяжений для материального процесса Tliv = 5 ?n<x?v?©a?.
a?
Вместо соотношения (10) почленным преобразованием получим
2 ? +1 2 r=8-• ^v=о. (20)
JUlV M-V
Из этого соотношения и равенства (16) следует, что "уравнения гравитационного поля можно записать также в виде
-Aiv (g) = X («UV+ JfIiv);
(21) 128 А. Эйнштейн, M. Гроссман
это можно получить и непосредственно из уравнений (18). Аналогом равенства (19) является соотношение
S + (22)
§ 6. ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ НА ФИЗИЧЕСКИЕ, В ЧАСТНОСТИ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ, ПРОЦЕССЫ
Поскольку во всех физических процессах большую роль играют импульс и энергия, которые определяют гравитационное поле и на которые это поле в свою очередь воздействует, величины ^lv, определяющие поле тяжести, должны входить во все физические уравнения. Мы уже видели, что движение материальной точки описывается уравнением
б{ Jdsj = O,
причем
ds2 — 2 Sixv dz»
JLlV
Интервал ds является инвариантом по отношению к произвольным преобразованиям. Искомые уравнения, определяющие ход того или иного физического процесса, должны быть построены так, чтобы из инвариантности ds следовала ковариантность соответствующей системы уравнений.
Однако при попытке выполнить эту общую задачу мы наталкиваемся на принципиальную трудность. Мы не знаем, относительно какой группы преобразований должны быть ковариантны искомые уравнения. Сначала наиболее естественным кажется требование ковариантности системы уравнений относительно произвольных преобразований. Однако такому требованию противоречит тот факт, что построенные нами уравнения гравитационного поля этим свойством не обладают. Мы смогли показать, что уравнения гравитационного поля ковариантны лишь относительно произвольных линейных преобразований; однако мы не знаем, существует ли общая группа преобразований, относительно которой ковариантны эти уравнения. Вопрос о существовании такой группы преобразований для системы уравнений (18) или (21) имеет важнейшее значение для рассматриваемой здесь задачи. Во всяком случае, при современном состоянии теории мы не можем требовать ковариантности уравнений относительно произвольных преобразований.
Однако в то же время мы видели, что для материальных процессов можно составить уравнение баланса энергии-импульса [§ 4, соотношение (10)], которое допускает произвольные преобразования. Поэтому все же естественно предположить, что все физические ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 129
