Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно обычной теории относительности3), свободная точка движется в соответствии с соотношением
Это соотношение утверждает лишь, что материальная точка движется прямолинейно и равномерно. Оно представляет собой уравнение движения точки в форме Гамильтона, и его можно записать также в виде
1J Как известно, убыль инертной массы, соответствующая энергии E, составляет Elc21 если с — скорость света.
2) См. также § 7 настоящей работы.
3) См., например, Planck M., Verh. deutsch, phys. Ges., 1906, S. 136.
6 { \ ds} = б {]/ - dx2 — dy2 - dz2 + c4t2} - Oi
(1)
(Ia)
8-0919 114 А. Эйнштейн, М. Гроссман
причем
ТТ ds
dfm
a m — масса покоя материальной точки.
Отсюда известным способом получаются импульс (Ix, Iyy Iz) и энергия E движущейся материальной точки:
г \дН X
^gsw iF=mIn—2
ах SLa У с2 — q2
А дН ' дЩ' г дHl' и Е= — х-\—T1ZzH--^z-Н = т
1(2)
ду dz Vе
Эти выражения для энергии и импульса отличаются от обычных лишь тем, что в последних Ix, Iyi IzH E содержат еще множитель с. Однако, поскольку в обычной теории относительности с постоянно, приведенные формулы эквивалентны обычным. Различие состоит лишь в том, что I и E имеют теперь иную размерность.
В предыдущих работах я показал, что гипотеза эквивалентности ведет к следствию, что в статическом гравитационном поле скорость с зависит от гравитационного потенциала. Тем самым я пришел к выводу, что обычная теория относительности является лишь приближенной; эта теория должна быть справедливой в предельном случае, когда в рассматриваемых пространственно-временных областях нет слишком больших изменений гравитационного потенциала. Кроме того, я обнаружил, что уравнениями движения материальной точки в статическом гравитационном поле по-прежнему служат уравнения (1) или (1а); однако при этом с следует рассматривать не как постоянную, а как функцию пространственных координат, представляющую меру гравитационного потенциала. Из соотношения (Ia) известным способом получаются уравнения движения:
дс
mc^ (3)
d ( тпх ^ _
"dt X Yc2- q* і ~~
Нетрудно увидеть, что выражение для количества движения остается таким же, как и выше. Вообще для материальной точки, движущейся в статическом гравитационном поле, справедливы формулы (2). Правая; часть уравнения (3) представляет силу AA, действующую на материальную точку со стороны гравитационного поля. В частном случае покоя (q = 0)
де ПРОЕКТ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ц5
Отсюда видно, что с играет роль гравитационного потенциала. Из формул (2) для медленно движущейся материальной точки следует, что
Imq2
Е — тс = —^ . (4)
Таким образом, при заданной скорости импульс и кинетическая энергия обратно пропорциональны величине с. Иначе говоря, инертная масса, входящая в выражение для импульса и энергии, есть Tnlc1 где т — характерная для материальной точки постоянная, не зависящая от гравитационного потенциала. Это согласуется со смелой мыслью Маха о том, что причиной инерции является взаимодействие рассматриваемой материальной точки со всеми остальными; в самом деле, если мы поместим другие массы вблизи рассматриваемой материальной точки, то тем самым уменьшим гравитационный потенциал с и, следовательно, увеличим отношение Inlc1 определяющее инерцию.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ. ХАРАКТЕРИСТИКА ПОСЛЕДНЕГО
Введя предположение, что величина с может изменяться в пространстве, мы вышли из рамок теории, называемой в настоящее время «теорией относительности», ибо величина, обозначаемая через с, теперь уже не будет инвариантом по отношению к линейным ортогональным преобразованиям. Следовательно, если принцип относительности должен остаться в силе — а это не подлежит сомнению,— то необходимо так обобщить теорию относительности, чтобы она содержала как частный случай намеченную ранее теорию статического поля тяжести.
Введем новую пространственно-временную систему координат Kf [Xf1 у', zf, {') с помощью произвольного преобразования
Xf = Xf (X, у, Z, *),
у' = у' (X1 у, Z1 г),
Zt = Zf (X1 у, Z, t),
t' = t' (X1 у, Z, f).
8* 116 А. Эйнштейн, М. Гроссман
Если в первоначальной системе отсчета К поле тяжести было статическим, то при этом преобразовании уравнение (1) перейдет в уравнение вида
o{j ds'} = О,
причем
ds'* = glidx'z + g22dy'z+ +2 gi2dz'dy' + ...,
а величины ^v суть функции х', у', z', Ґ. Если вместо я', у', z', подставить соответственно х, у, z, t ъ вместо ds' написать ds, то уравнения движения материальной точки относительно системы К' примут вид
»{J л} = Of (!')
причем
ds2 = S ^ dxv.
JAV
Таким образом, мы приходим к убеждению, что в общем случае гравитационное поле характеризуется десятью пространственно-временными функциями
Sll ?12 ?13
S21 ?22 ?28 ?24 (а — а \ g3i gsz gas g»4 {8»V gvv)'
^41 ^42 ^43 ^44
которые в случае обычной теории относительности соответственно равны
-1 0 0 0
0 —1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 +с*.
где с — постоянная.
Вырождение такого же рода имеет место в статическом поле тяжести рассмотренного выше типа с тем отличием, что в этом случае gu = cz есть функция OT X^1 X21 Xz.
